讲法
请学生说出本讲最需要练习的关系。先收下学生的解释，再决定从哪一道题开始；原题与变式均可在目录中定位。
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。
讲法
请学生说出本讲最需要练习的关系。先收下学生的解释，再决定从哪一道题开始；原题与变式均可在目录中定位。
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。
讲法
分清人数、产量与每套用量；同页逐步建立等量关系。
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。
讲法
独立解方程 (x−1)/3=(x+1)/5，并说明去分母、去括号、移项合并与系数化1的依据。随后想一想，实际题的方程从哪里来？
先让学生独立读题和表示数量，先在纸上独立写完整变形，错在哪一步就只补哪一步。右侧问句是本题的推理顺序。每一步先问，收到有依据的回答后再点击；画面会补上相应数量或关系，已建立的证据留在原处。
提问与逐步讲解
问 去分母时，要乘哪几项？
等 方程两边同乘15，得到 \( 5(x-1)=3(x+1) \)。
讲清依据 等式两边乘同一个非零数，关系保持不变。
揭示 按一次 →，第一步变形及其依据出现。
避错 去分母漏项，去括号漏乘，或把求出x当作应用题已经完成。
问 去括号为什么不能只乘第一项？
等 \( 5x-5=3x+3 \)。
讲清依据 分配律要求括号中的每一项都乘外面的系数。
揭示 按一次 →，展开后的每项出现。
避错 去分母漏项，去括号漏乘，或把求出x当作应用题已经完成。
问 移项后如何合并同类项？
等 \( 5x-3x=3+5 \)，得到 \( 2x=8 \)。
讲清依据 移项对应两边作相同加减；只合并同类项。
揭示 按一次 →，显示移项与合并后的等式。
避错 去分母漏项，去括号漏乘，或把求出x当作应用题已经完成。
问 最后一步为什么两边都要除以2？
等 \( x=4 \)。
讲清依据 把未知数系数化成1，同时保持两边相等。
揭示 按一次 →，系数化1的结果出现。
避错 去分母漏项，去括号漏乘，或把求出x当作应用题已经完成。
问 会解方程，就一定会列应用题方程吗？
等 代回两边都为1；应用题还须说明等号两边为什么相等。
讲清依据 求解检查运算，建模还要检查数量关系和实际意义。
揭示 按一次 →，代回检验出现，为后续配套题保留实际检验要求。
避错 去分母漏项，去括号漏乘，或把求出x当作应用题已经完成。
观察点
学生应能指着图表解释各式中的量，并独立复述关键关系。代回两边都为1；应用题还须说明等号两边为什么相等。
易错
去分母漏项，去括号漏乘，或把求出x当作应用题已经完成。
提示阶梯
- 先说题目中哪一个总量不变。
- 在图表中分别表示两部分，再比较同类量。
- 只补最卡住的一项，剩余部分自己完成。
每次只给一层；学生能继续就停止提示。
分支
基础弱：在量的表示处停下补一项；基础好：先独立完成，再比较理由。
材料
原稿1第3页求解步骤复习；计算例为原创前置诊断
讲法
车间有22名工人。每人每天可生产1200个螺柱或2000个螺母。1个螺柱配2个螺母。怎样安排两种工人，才能使每天的产品刚好配套？
先让学生独立读题和表示数量，先独立补出“产量”和“可配套数”，再解释为什么能列等号。右侧问句是本题的推理顺序。每一步先问，收到有依据的回答后再点击；画面会补上相应数量或关系，已建立的证据留在原处。
提问与逐步讲解
问 先分配资源，另一部分怎样表示？
等 设螺柱分配 \( x \)，则螺母为 \( 22-x \)。
讲清依据 两部分合起来固定为22；未知数表示人数。
揭示 按一次 →，量表的分配行填写x和总数减x。
避错 把工人人数直接分成1∶2。
问 分配数怎样变成两种产量？
等 螺柱为\( 1200x \)，螺母为\( 2000(22-x) \)。
讲清依据 每单位产量 × 分配数 = 这一种部件的总产量。
揭示 按一次 →，量表填出两种总产量，并保留各自效率。
避错 把工人人数直接分成1∶2。
问 不同零件的个数，怎样换成同一种量？
等 分别能配\( 1200x/1 \)套与\( 2000(22-x)/2 \)套。
讲清依据 一套用1个螺柱、2个螺母，故各自除以每套用量。
揭示 按一次 →，量表补上两种可配套数。
避错 产量不同并不表示不配套；先换成套数。
问 “刚好配套”要求哪两个量相等？
等 \( 1200x/1 \) = \( 2000(22-x)/2 \)。
讲清依据 两种部件支持同样多的整套产品，才能都刚好用完。
揭示 按一次 →，量表下标明两边比较的单位都是套。
避错 不能把资源人数比直接定成零件用量比。
问 解出的 x 回到哪一种分配？
等 整理得 \( 11x=110 \)，故 \( x=10 \)；另一部分12。
讲清依据 展开括号、移项合并，再从总量减去x求另一部分。
揭示 按一次 →，分配结果行填入两个数。
避错 把工人人数直接分成1∶2。
问 总量与配套条件都通过了吗？
等 \( 10+12=22 \)；两种产量都支持12000套。
讲清依据 12000个螺柱与24000个螺母按每套用量同时用完。
揭示 按一次 →，底部数量检验和最终结论出现。
避错 把工人人数直接分成1∶2。
观察点
学生应能指着图表解释各式中的量，并独立复述关键关系。\( 10+12=22 \)；两种产量都支持12000套。
易错
把工人人数直接分成1∶2。
提示阶梯
- 先写另一组人数。
- 把“每人每天”乘人数，得到每天总产量。
- 需要比较的是产品数量，不是工人人数。
每次只给一层；学生能继续就停止提示。
分支
基础弱：在量的表示处停下补一项；基础好：先独立完成，再比较理由。
材料
第1份 P4–6
讲法
加工车间有85名工人。每人每天加工16个大齿轮或10个小齿轮。2个大齿轮与3个小齿轮配成一套。大、小齿轮各安排多少名工人？
先让学生独立读题和表示数量，先独立补出“产量”和“可配套数”，再解释为什么能列等号。右侧问句是本题的推理顺序。每一步先问，收到有依据的回答后再点击；画面会补上相应数量或关系，已建立的证据留在原处。
提问与逐步讲解
问 先分配资源，另一部分怎样表示？
等 设大齿轮分配 \( x \)，则小齿轮为 \( 85-x \)。
讲清依据 两部分合起来固定为85；未知数表示人数。
揭示 按一次 →，量表的分配行填写x和总数减x。
避错 把大、小齿轮数量直接设为相等。
问 分配数怎样变成两种产量？
等 大齿轮为\( 16x \)，小齿轮为\( 10(85-x) \)。
讲清依据 每单位产量 × 分配数 = 这一种部件的总产量。
揭示 按一次 →，量表填出两种总产量，并保留各自效率。
避错 把大、小齿轮数量直接设为相等。
问 不同零件的个数，怎样换成同一种量？
等 分别能配\( 16x/2 \)套与\( 10(85-x)/3 \)套。
讲清依据 一套用2个大齿轮、3个小齿轮，故各自除以每套用量。
揭示 按一次 →，量表补上两种可配套数。
避错 产量不同并不表示不配套；先换成套数。
问 “刚好配套”要求哪两个量相等？
等 \( 16x/2 \) = \( 10(85-x)/3 \)。
讲清依据 两种部件支持同样多的整套产品，才能都刚好用完。
揭示 按一次 →，量表下标明两边比较的单位都是套。
避错 不能把资源人数比直接定成零件用量比。
问 解出的 x 回到哪一种分配？
等 整理得 \( 17x=425 \)，故 \( x=25 \)；另一部分60。
讲清依据 展开括号、移项合并，再从总量减去x求另一部分。
揭示 按一次 →，分配结果行填入两个数。
避错 把大、小齿轮数量直接设为相等。
问 总量与配套条件都通过了吗？
等 \( 25+60=85 \)；两种产量都支持200套。
讲清依据 400个大齿轮与600个小齿轮按每套用量同时用完。
揭示 按一次 →，底部数量检验和最终结论出现。
避错 把大、小齿轮数量直接设为相等。
观察点
学生应能指着图表解释各式中的量，并独立复述关键关系。\( 25+60=85 \)；两种产量都支持200套。
易错
把大、小齿轮数量直接设为相等。
提示阶梯
- 分别计算两种齿轮的每天产量。
- 把每种产量除以每套所需个数。
每次只给一层；学生能继续就停止提示。
分支
基础弱：在量的表示处停下补一项；基础好：先独立完成，再比较理由。
材料
第1份 P7–8
讲法
每张铝片可制作16个瓶身或43个瓶底。1个瓶身与2个瓶底配成一套。共有150张铝片，分别用多少张做瓶身和瓶底，才能刚好配套？
先让学生独立读题和表示数量，先独立补出“产量”和“可配套数”，再解释为什么能列等号。右侧问句是本题的推理顺序。每一步先问，收到有依据的回答后再点击；画面会补上相应数量或关系，已建立的证据留在原处。
提问与逐步讲解
问 先分配资源，另一部分怎样表示？
等 设瓶身分配 \( x \)，则瓶底为 \( 150-x \)。
讲清依据 两部分合起来固定为150；未知数表示铝片。
揭示 按一次 →，量表的分配行填写x和总数减x。
避错 混淆材料张数与产品数量。
问 分配数怎样变成两种产量？
等 瓶身为\( 16x \)，瓶底为\( 43(150-x) \)。
讲清依据 每单位产量 × 分配数 = 这一种部件的总产量。
揭示 按一次 →，量表填出两种总产量，并保留各自效率。
避错 混淆材料张数与产品数量。
问 不同零件的个数，怎样换成同一种量？
等 分别能配\( 16x/1 \)套与\( 43(150-x)/2 \)套。
讲清依据 一套用1个瓶身、2个瓶底，故各自除以每套用量。
揭示 按一次 →，量表补上两种可配套数。
避错 产量不同并不表示不配套；先换成套数。
问 “刚好配套”要求哪两个量相等？
等 \( 16x/1 \) = \( 43(150-x)/2 \)。
讲清依据 两种部件支持同样多的整套产品，才能都刚好用完。
揭示 按一次 →，量表下标明两边比较的单位都是套。
避错 不能把资源人数比直接定成零件用量比。
问 解出的 x 回到哪一种分配？
等 整理得 \( 75x=6450 \)，故 \( x=86 \)；另一部分64。
讲清依据 展开括号、移项合并，再从总量减去x求另一部分。
揭示 按一次 →，分配结果行填入两个数。
避错 混淆材料张数与产品数量。
问 总量与配套条件都通过了吗？
等 \( 86+64=150 \)；两种产量都支持1376套。
讲清依据 1376个瓶身与2752个瓶底按每套用量同时用完。
揭示 按一次 →，底部数量检验和最终结论出现。
避错 混淆材料张数与产品数量。
观察点
学生应能指着图表解释各式中的量，并独立复述关键关系。\( 86+64=150 \)；两种产量都支持1376套。
易错
混淆材料张数与产品数量。
提示阶梯
- 未知数表示铝片张数，不是瓶子的个数。
- 先由铝片张数求部件数量。
每次只给一层；学生能继续就停止提示。
分支
基础弱：在量的表示处停下补一项；基础好：先独立完成，再比较理由。
材料
第1份 P9
讲法
先让学生说出每题“一套”由什么组成，再指认三张量表完全相同的行。
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。
讲法
库存、整数分工和“最多”各自改变什么判断？
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。
讲法
22名工人，日产效率为螺柱1200个、螺母2000个；1柱配2母。仓库已有4400个螺母，无螺柱库存。当天产品连同库存刚好配套，应如何分工？
先让学生独立读题和表示数量，先独立读题，写出未知数与等量关系。右侧问句是本题的推理顺序。每一步先问，收到有依据的回答后再点击；画面会补上相应数量或关系，已建立的证据留在原处。
提问与逐步讲解
问 库存改变了人数吗？
等 设螺柱工人 \( x \)，螺母工人 \( 22-x \)。
讲清依据 库存是零件，工人总数仍为22。
揭示 按一次 →，分工行填写两个数量。
避错 将库存加到人数或同时加到两种零件。
问 当天产量怎样求？
等 \( 1200x \) 与 \( 2000(22-x) \)。
讲清依据 效率和人数相乘，仍只得到当天新生产的量。
揭示 按一次 →，产量行出现。
避错 将库存加到人数或同时加到两种零件。
问 可拿来配套的螺母只有当天产量吗？
等 螺母可用量为 \( 2000(22-x)+4400 \)。
讲清依据 旧库存也可使用；螺柱没有库存。
揭示 按一次 →，可用总量行多出4400个库存。
避错 将库存加到人数或同时加到两种零件。
问 原来的方程哪一项必须改变？
等 \( 2×1200x=2000(22-x)+4400 \)，解得 \( x=11 \)。
讲清依据 每根螺柱需要2颗螺母，比较的是含库存的可用量。
揭示 按一次 →，显示库存应加在哪一边的依据。
避错 将库存加到人数或同时加到两种零件。
问 算出的分工为什么这次能刚好配套？
等 13200柱需26400母；\( 22000+4400=26400 \)。
讲清依据 平均分工可行来自库存补足，不能推广成一律平均分。
揭示 按一次 →，代回行与检验出现。
避错 将库存加到人数或同时加到两种零件。
观察点
学生应能指着图表解释各式中的量，并独立复述关键关系。13200柱需26400母；\( 22000+4400=26400 \)。
易错
将库存加到人数或同时加到两种零件。
提示阶梯
- 先说题目中哪一个总量不变。
- 在图表中分别表示两部分，再比较同类量。
- 只补最卡住的一项，剩余部分自己完成。
每次只给一层；学生能继续就停止提示。
分支
基础弱：在量的表示处停下补一项；基础好：先独立完成，再比较理由。
材料
原创结构迁移，依据原稿1第4至6页
讲法
①原22人方案，能否平均分成11人与11人？②改为23人，其余日产效率和1柱配2母不变；全员上工，每人整天只做一种，是否有刚好配套的安排？
先让学生独立读题和表示数量，先独立读题，写出未知数与等量关系。右侧问句是本题的推理顺序。每一步先问，收到有依据的回答后再点击；画面会补上相应数量或关系，已建立的证据留在原处。
提问与逐步讲解
问 22人各分11人，错在总人数吗？
等 人数之和正确，但最多只能配11000套，剩2200柱。
讲清依据 要同时满足总人数和配套条件，不能只查前者。
揭示 按一次 →，补出剩余与短缺的零件数量。
避错 把总数正确当成全部条件正确，或用取整制造假解。
问 改成23人，方程结构是否改变？
等 \( 1200x=1000(23-x) \)。
讲清依据 效率与每套用量未变，只改变资源总数。
揭示 按一次 →，写出23人的两种可配套数。
避错 把总数正确当成全部条件正确，或用取整制造假解。
问 求出分数人数，可以直接取整吗？
等 \( 2200x=23000 \)，所以 \( x=115/11 \)，不能整天分工。
讲清依据 每人整天只做一种，分配数必须是整数。
揭示 按一次 →，精确解与整数限制同时出现。
避错 把总数正确当成全部条件正确，或用取整制造假解。
问 取10或11，原条件还成立吗？
等 10人时少螺柱，11人时少螺母；两边套数均不相等。
讲清依据 四舍五入改变了方程的精确关系。
揭示 按一次 →，对照两种取整方案，显示各自不平衡。
避错 把总数正确当成全部条件正确，或用取整制造假解。
观察点
学生应能指着图表解释各式中的量，并独立复述关键关系。10人时少螺柱，11人时少螺母；两边套数均不相等。
易错
把总数正确当成全部条件正确，或用取整制造假解。
提示阶梯
- 先说题目中哪一个总量不变。
- 在图表中分别表示两部分，再比较同类量。
- 只补最卡住的一项，剩余部分自己完成。
每次只给一层；学生能继续就停止提示。
分支
基础弱：在量的表示处停下补一项；基础好：先独立完成，再比较理由。
材料
原创纠错与整数边界，依据原稿1螺柱题
讲法
某车间每天可生产120个甲零件或100个乙零件，3个甲与2个乙配成一套。现有45天，怎样安排两种生产天数，成套产品最多？
先让学生独立读题和表示数量，先独立补出“产量”和“可配套数”，再解释为什么能列等号。右侧问句是本题的推理顺序。每一步先问，收到有依据的回答后再点击；画面会补上相应数量或关系，已建立的证据留在原处。
提问与逐步讲解
问 先分配资源，另一部分怎样表示？
等 设甲零件分配 \( x \)，则乙零件为 \( 45-x \)。
讲清依据 两部分合起来固定为45；未知数表示天数。
揭示 按一次 →，量表的分配行填写x和总数减x。
避错 只检查配套，忘记检查总天数；原稿甲20天错误。
问 分配数怎样变成两种产量？
等 甲零件为\( 120x \)，乙零件为\( 100(45-x) \)。
讲清依据 每单位产量 × 分配数 = 这一种部件的总产量。
揭示 按一次 →，量表填出两种总产量，并保留各自效率。
避错 只检查配套，忘记检查总天数；原稿甲20天错误。
问 不同零件的个数，怎样换成同一种量？
等 分别能配\( 120x/3 \)套与\( 100(45-x)/2 \)套。
讲清依据 一套用3个甲零件、2个乙零件，故各自除以每套用量。
揭示 按一次 →，量表补上两种可配套数。
避错 产量不同并不表示不配套；先换成套数。
问 “刚好配套”要求哪两个量相等？
等 \( 120x/3 \) = \( 100(45-x)/2 \)。
讲清依据 两种部件支持同样多的整套产品，才能都刚好用完。
揭示 按一次 →，量表下标明两边比较的单位都是套。
避错 不能把资源人数比直接定成零件用量比。
问 解出的 x 回到哪一种分配？
等 整理得 \( 9x=225 \)，故 \( x=25 \)；另一部分20。
讲清依据 展开括号、移项合并，再从总量减去x求另一部分。
揭示 按一次 →，分配结果行填入两个数。
避错 只检查配套，忘记检查总天数；原稿甲20天错误。
问 两边相等，就足以说明“最多”吗？
等 若 \( x<25 \)，甲不足1000套；若 \( x>25 \)，乙不足1000套。
讲清依据 所有安排落在25两侧或等于25；只有25天与20天能同时达到1000套。
揭示 按一次 →，保留1000套检验，并用两侧不足说明最大值。
避错 三个试值只能启发，证明还要覆盖所有其他天数。
观察点
学生应能指着图表解释各式中的量，并独立复述关键关系。若 \( x<25 \)，甲不足1000套；若 \( x>25 \)，乙不足1000套。
易错
只检查配套，忘记检查总天数；原稿甲20天错误。
提示阶梯
- 分别写出甲、乙能配成的套数。
- 若甲少于25天，甲不足1000套；多于25天，乙不足1000套。
每次只给一层；学生能继续就停止提示。
分支
基础弱：在量的表示处停下补一项；基础好：先独立完成，再比较理由。
材料
第1份 P10（修正原答案）
讲法
对照本节原模型，先说出每个条件改了表格哪一行，再指认方程里对应的项。
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。
讲法
先留下完整独立答案，再按需逐步核对。
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。
讲法
仍为每人每天生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱配2个螺母。现在有44名工人。请独立设未知数、列方程、求人数，并检验。
先让学生独立读题和表示数量，不点击解析，先独立完成设元、方程和两项检验。右侧问句是本题的推理顺序。每一步先问，收到有依据的回答后再点击；画面会补上相应数量或关系，已建立的证据留在原处。
提问与逐步讲解
问 先分配资源，另一部分怎样表示？
等 设螺柱分配 \( x \)，则螺母为 \( 44-x \)。
讲清依据 两部分合起来固定为44；未知数表示人数。
揭示 按一次 →，量表的分配行填写x和总数减x。
避错 机械照抄原题的22人。
问 分配数怎样变成两种产量？
等 螺柱为\( 1200x \)，螺母为\( 2000(44-x) \)。
讲清依据 每单位产量 × 分配数 = 这一种部件的总产量。
揭示 按一次 →，量表填出两种总产量，并保留各自效率。
避错 机械照抄原题的22人。
问 不同零件的个数，怎样换成同一种量？
等 分别能配\( 1200x/1 \)套与\( 2000(44-x)/2 \)套。
讲清依据 一套用1个螺柱、2个螺母，故各自除以每套用量。
揭示 按一次 →，量表补上两种可配套数。
避错 产量不同并不表示不配套；先换成套数。
问 “刚好配套”要求哪两个量相等？
等 \( 1200x/1 \) = \( 2000(44-x)/2 \)。
讲清依据 两种部件支持同样多的整套产品，才能都刚好用完。
揭示 按一次 →，量表下标明两边比较的单位都是套。
避错 不能把资源人数比直接定成零件用量比。
问 解出的 x 回到哪一种分配？
等 整理得 \( 11x=220 \)，故 \( x=20 \)；另一部分24。
讲清依据 展开括号、移项合并，再从总量减去x求另一部分。
揭示 按一次 →，分配结果行填入两个数。
避错 机械照抄原题的22人。
问 总量与配套条件都通过了吗？
等 \( 20+24=44 \)；两种产量都支持24000套。
讲清依据 24000个螺柱与48000个螺母按每套用量同时用完。
揭示 按一次 →，底部数量检验和最终结论出现。
避错 机械照抄原题的22人。
观察点
学生应能指着图表解释各式中的量，并独立复述关键关系。\( 20+24=44 \)；两种产量都支持24000套。
易错
机械照抄原题的22人。
提示阶梯
- 先无提示作答；必要时只提醒总人数。
每次只给一层；学生能继续就停止提示。
分支
基础弱：在量的表示处停下补一项；基础好：先独立完成，再比较理由。
材料
原创变式，依据第1份 P4
讲法
请学生说出本讲最需要练习的关系。先收下学生的解释，再决定从哪一道题开始；原题与变式均可在目录中定位。
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。