Math · G7实际问题与一元一次方程
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Linear Equations · 01

配套问题

题目、图表和推导留在同一页

  • 01把人或材料换成产量，再换成可配套数
  • 02比较库存、整数限制与“最多”的条件
  • 03独立写出方程并用原条件检验
条件
↓
关系每次点击都回答一个问题
先思考，再揭示依据

本讲路线 · 按问题推进

01从资源走到套数分清人数、产量与每套用量；同页逐步建立等量关系。P3
02变化条件与实际限制库存、整数分工和“最多”各自改变什么判断？P9
03独立完成与归纳先留下完整独立答案，再按需逐步核对。P14
必须保留原题核心关系、独立列式和原条件检验。完整单元可分多次教学。
可以压缩已经能独立解释的同型计算。不能省去新条件如何改变关系。
按基础选择基础弱先补量表的一格；基础好先解变式，再比较新旧等式。
完整题面始终在场；右侧问题先可见。收到学生回应后再按 →，图上证据与对应推导同步补全，← 可退回。
01

从资源走到套数

分清人数、产量与每套用量；同页逐步建立等量关系。

先检查求解 · 每次变形有什么依据

原稿1第3页求解步骤复习；计算例为原创前置诊断
独立解方程 (x−1)/3=(x+1)/5，并说明去分母、去括号、移项合并与系数化1的依据。随后想一想，实际题的方程从哪里来？
变形动作得到的等式依据
原方程\( (x-1)/3=(x+1)/5 \)先独立求解
去分母\( 5(x-1)=3(x+1) \)待表示两边同乘15待表示
去括号\( 5x-5=3x+3 \)待表示分配律作用于每一项待表示
移项并合并\( 2x=8 \)待表示两边作相同加减待表示
系数化1\( x=4 \)待表示两边同除以2待表示
代回\( 3/3=5/5=1 \)待表示原方程成立待表示

先在纸上独立写完整变形，错在哪一步就只补哪一步。

01

去分母时，要乘哪几项？

方程两边同乘15，得到 \( 5(x-1)=3(x+1) \)。
等式两边乘同一个非零数，关系保持不变。
02

去括号为什么不能只乘第一项？

\( 5x-5=3x+3 \)。
分配律要求括号中的每一项都乘外面的系数。
03

移项后如何合并同类项？

\( 5x-3x=3+5 \)，得到 \( 2x=8 \)。
移项对应两边作相同加减；只合并同类项。
04

最后一步为什么两边都要除以2？

\( x=4 \)。
把未知数系数化成1，同时保持两边相等。
05

会解方程，就一定会列应用题方程吗？

代回两边都为1；应用题还须说明等号两边为什么相等。
求解检查运算，建模还要检查数量关系和实际意义。
结论与检验解为4；会求解以后，还要练习从题意建立等量关系。

螺柱与螺母

第1份 P4–6
车间有22名工人。每人每天可生产1200个螺柱或2000个螺母。1个螺柱配2个螺母。怎样安排两种工人，才能使每天的产品刚好配套？
一套的组成1个螺柱＋2个螺母先数零件，再数完整的套
比较的量螺柱螺母
每单位产量12002000
人数 / 人\( x \)待表示\( 22-x \)待表示
产量 / 个\( 1200x \)待表示\( 2000(22-x) \)待表示
可配套数\( 1200x/1 \)待表示\( 2000(22-x)/2 \)待表示
分配结果10待表示12待表示
换成“套”后，刚好配套才要求两边相等
12000 ÷ 1 = 24000 ÷ 2 = 12000 套

先独立补出“产量”和“可配套数”，再解释为什么能列等号。

01

先分配资源，另一部分怎样表示？

设螺柱分配 \( x \)，则螺母为 \( 22-x \)。
两部分合起来固定为22；未知数表示人数。
02

分配数怎样变成两种产量？

螺柱为\( 1200x \)，螺母为\( 2000(22-x) \)。
每单位产量 × 分配数 = 这一种部件的总产量。
03

不同零件的个数，怎样换成同一种量？

分别能配\( 1200x/1 \)套与\( 2000(22-x)/2 \)套。
一套用1个螺柱、2个螺母，故各自除以每套用量。
04

“刚好配套”要求哪两个量相等？

\( 1200x/1 \) = \( 2000(22-x)/2 \)。
两种部件支持同样多的整套产品，才能都刚好用完。
05

解出的 x 回到哪一种分配？

整理得 \( 11x=110 \)，故 \( x=10 \)；另一部分12。
展开括号、移项合并，再从总量减去x求另一部分。
06

总量与配套条件都通过了吗？

\( 10+12=22 \)；两种产量都支持12000套。
12000个螺柱与24000个螺母按每套用量同时用完。
结论与检验螺柱10人，螺母12人。检验：12000个螺柱配24000个螺母。

齿轮配套：先独立列方程

第1份 P7–8
加工车间有85名工人。每人每天加工16个大齿轮或10个小齿轮。2个大齿轮与3个小齿轮配成一套。大、小齿轮各安排多少名工人？
一套的组成2个大齿轮＋3个小齿轮先数零件，再数完整的套
比较的量大齿轮小齿轮
每单位产量1610
人数 / 人\( x \)待表示\( 85-x \)待表示
产量 / 个\( 16x \)待表示\( 10(85-x) \)待表示
可配套数\( 16x/2 \)待表示\( 10(85-x)/3 \)待表示
分配结果25待表示60待表示
换成“套”后，刚好配套才要求两边相等
400 ÷ 2 = 600 ÷ 3 = 200 套

先独立补出“产量”和“可配套数”，再解释为什么能列等号。

01

先分配资源，另一部分怎样表示？

设大齿轮分配 \( x \)，则小齿轮为 \( 85-x \)。
两部分合起来固定为85；未知数表示人数。
02

分配数怎样变成两种产量？

大齿轮为\( 16x \)，小齿轮为\( 10(85-x) \)。
每单位产量 × 分配数 = 这一种部件的总产量。
03

不同零件的个数，怎样换成同一种量？

分别能配\( 16x/2 \)套与\( 10(85-x)/3 \)套。
一套用2个大齿轮、3个小齿轮，故各自除以每套用量。
04

“刚好配套”要求哪两个量相等？

\( 16x/2 \) = \( 10(85-x)/3 \)。
两种部件支持同样多的整套产品，才能都刚好用完。
05

解出的 x 回到哪一种分配？

整理得 \( 17x=425 \)，故 \( x=25 \)；另一部分60。
展开括号、移项合并，再从总量减去x求另一部分。
06

总量与配套条件都通过了吗？

\( 25+60=85 \)；两种产量都支持200套。
400个大齿轮与600个小齿轮按每套用量同时用完。
结论与检验大齿轮25人，小齿轮60人；400÷2 = 600÷3 = 200套。

瓶身与瓶底：换一种分配对象

第1份 P9
每张铝片可制作16个瓶身或43个瓶底。1个瓶身与2个瓶底配成一套。共有150张铝片，分别用多少张做瓶身和瓶底，才能刚好配套？
一套的组成1个瓶身＋2个瓶底先数零件，再数完整的套
比较的量瓶身瓶底
每单位产量1643
铝片 / 张\( x \)待表示\( 150-x \)待表示
产量 / 个\( 16x \)待表示\( 43(150-x) \)待表示
可配套数\( 16x/1 \)待表示\( 43(150-x)/2 \)待表示
分配结果86待表示64待表示
换成“套”后，刚好配套才要求两边相等
1376 ÷ 1 = 2752 ÷ 2 = 1376 套

先独立补出“产量”和“可配套数”，再解释为什么能列等号。

01

先分配资源，另一部分怎样表示？

设瓶身分配 \( x \)，则瓶底为 \( 150-x \)。
两部分合起来固定为150；未知数表示铝片。
02

分配数怎样变成两种产量？

瓶身为\( 16x \)，瓶底为\( 43(150-x) \)。
每单位产量 × 分配数 = 这一种部件的总产量。
03

不同零件的个数，怎样换成同一种量？

分别能配\( 16x/1 \)套与\( 43(150-x)/2 \)套。
一套用1个瓶身、2个瓶底，故各自除以每套用量。
04

“刚好配套”要求哪两个量相等？

\( 16x/1 \) = \( 43(150-x)/2 \)。
两种部件支持同样多的整套产品，才能都刚好用完。
05

解出的 x 回到哪一种分配？

整理得 \( 75x=6450 \)，故 \( x=86 \)；另一部分64。
展开括号、移项合并，再从总量减去x求另一部分。
06

总量与配套条件都通过了吗？

\( 86+64=150 \)；两种产量都支持1376套。
1376个瓶身与2752个瓶底按每套用量同时用完。
结论与检验86张做瓶身，64张做瓶底；1376个瓶身配2752个瓶底。

图例对照 · 三张图，同一副骨架

本讲各页图例汇总 · 均为完成态

螺柱与螺母

一套的组成1个螺柱＋2个螺母先数零件，再数完整的套
比较的量螺柱螺母
每单位产量12002000
人数 / 人\( x \)\( 22-x \)
产量 / 个\( 1200x \)\( 2000(22-x) \)
可配套数\( 1200x/1 \)\( 2000(22-x)/2 \)
分配结果1012
换成“套”后，刚好配套才要求两边相等
12000 ÷ 1 = 24000 ÷ 2 = 12000 套

1柱配2母：人数 → 产量 → 套数

齿轮配套

一套的组成2个大齿轮＋3个小齿轮先数零件，再数完整的套
比较的量大齿轮小齿轮
每单位产量1610
人数 / 人\( x \)\( 85-x \)
产量 / 个\( 16x \)\( 10(85-x) \)
可配套数\( 16x/2 \)\( 10(85-x)/3 \)
分配结果2560
换成“套”后，刚好配套才要求两边相等
400 ÷ 2 = 600 ÷ 3 = 200 套

2大配3小：换比例换对象

瓶身与瓶底

一套的组成1个瓶身＋2个瓶底先数零件，再数完整的套
比较的量瓶身瓶底
每单位产量1643
铝片 / 张\( x \)\( 150-x \)
产量 / 个\( 16x \)\( 43(150-x) \)
可配套数\( 16x/1 \)\( 43(150-x)/2 \)
分配结果8664
换成“套”后，刚好配套才要求两边相等
1376 ÷ 1 = 2752 ÷ 2 = 1376 套

1身配2底：分配对象换成铝片

同一骨架：资源 → 两种产量 → 可配套数；各题只换配比与分配对象。
02

变化条件与实际限制

库存、整数分工和“最多”各自改变什么判断？

库存加入以后 · 哪个总量变了

原创结构迁移，依据原稿1第4至6页
22名工人，日产效率为螺柱1200个、螺母2000个；1柱配2母。仓库已有4400个螺母，无螺柱库存。当天产品连同库存刚好配套，应如何分工？
数量螺柱螺母
每人日产量12002000
原有库存04400
工人数\( x \)待表示\( 22-x \)待表示
当天产量\( 1200x \)待表示\( 2000(22-x) \)待表示
可用总量\( 1200x \)待表示\( 2000(22-x)+4400 \)待表示
代回检验13200待表示26400待表示
配套比较“可用总量”，库存只加在螺母一边。

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

库存改变了人数吗？

设螺柱工人 \( x \)，螺母工人 \( 22-x \)。
库存是零件，工人总数仍为22。
02

当天产量怎样求？

\( 1200x \) 与 \( 2000(22-x) \)。
效率和人数相乘，仍只得到当天新生产的量。
03

可拿来配套的螺母只有当天产量吗？

螺母可用量为 \( 2000(22-x)+4400 \)。
旧库存也可使用；螺柱没有库存。
04

原来的方程哪一项必须改变？

\( 2×1200x=2000(22-x)+4400 \)，解得 \( x=11 \)。
每根螺柱需要2颗螺母，比较的是含库存的可用量。
05

算出的分工为什么这次能刚好配套？

13200柱需26400母；\( 22000+4400=26400 \)。
平均分工可行来自库存补足，不能推广成一律平均分。
结论与检验螺柱11人，螺母11人；用完4400个旧螺母。

检验两个提议 · 平均分与四舍五入

原创纠错与整数边界，依据原稿1螺柱题
①原22人方案，能否平均分成11人与11人？②改为23人，其余日产效率和1柱配2母不变；全员上工，每人整天只做一种，是否有刚好配套的安排？
方案螺柱支持套数螺母支持套数
11人＋11人1320011000
原22人平均分剩2200柱待表示缺4400母待表示
23人全部上工\( 1200x \)待表示\( 1000(23-x) \)待表示
精确解\( x=115/11 \)待表示不是整数待表示
试取10人12000待表示13000待表示
试取11人13200待表示12000待表示

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

22人各分11人，错在总人数吗？

人数之和正确，但最多只能配11000套，剩2200柱。
要同时满足总人数和配套条件，不能只查前者。
02

改成23人，方程结构是否改变？

\( 1200x=1000(23-x) \)。
效率与每套用量未变，只改变资源总数。
03

求出分数人数，可以直接取整吗？

\( 2200x=23000 \)，所以 \( x=115/11 \)，不能整天分工。
每人整天只做一种，分配数必须是整数。
04

取10或11，原条件还成立吗？

10人时少螺柱，11人时少螺母；两边套数均不相等。
四舍五入改变了方程的精确关系。
结论与检验①不能刚好配套。②精确解不是整数，无符合题设的整天分工。

45天怎样安排 · 平衡点为什么是最大值

第1份 P10（修正原答案）
某车间每天可生产120个甲零件或100个乙零件，3个甲与2个乙配成一套。现有45天，怎样安排两种生产天数，成套产品最多？
一套的组成3个甲零件＋2个乙零件先数零件，再数完整的套
比较的量甲零件乙零件
每单位产量120100
天数 / 天\( x \)待表示\( 45-x \)待表示
产量 / 个\( 120x \)待表示\( 100(45-x) \)待表示
可配套数\( 120x/3 \)待表示\( 100(45-x)/2 \)待表示
分配结果25待表示20待表示
换成“套”后，刚好配套才要求两边相等
3000 ÷ 3 = 2000 ÷ 2 = 1000 套

先独立补出“产量”和“可配套数”，再解释为什么能列等号。

01

先分配资源，另一部分怎样表示？

设甲零件分配 \( x \)，则乙零件为 \( 45-x \)。
两部分合起来固定为45；未知数表示天数。
02

分配数怎样变成两种产量？

甲零件为\( 120x \)，乙零件为\( 100(45-x) \)。
每单位产量 × 分配数 = 这一种部件的总产量。
03

不同零件的个数，怎样换成同一种量？

分别能配\( 120x/3 \)套与\( 100(45-x)/2 \)套。
一套用3个甲零件、2个乙零件，故各自除以每套用量。
04

“刚好配套”要求哪两个量相等？

\( 120x/3 \) = \( 100(45-x)/2 \)。
两种部件支持同样多的整套产品，才能都刚好用完。
05

解出的 x 回到哪一种分配？

整理得 \( 9x=225 \)，故 \( x=25 \)；另一部分20。
展开括号、移项合并，再从总量减去x求另一部分。
06

两边相等，就足以说明“最多”吗？

若 \( x<25 \)，甲不足1000套；若 \( x>25 \)，乙不足1000套。
所有安排落在25两侧或等于25；只有25天与20天能同时达到1000套。
结论与检验甲25天、乙20天，共1000套；总天数25 + 20 = 45。

图例对照 · 条件一改，哪一处判断跟着变

本讲各页图例汇总 · 均为完成态

库存

数量螺柱螺母
每人日产量12002000
原有库存04400
工人数\( x \)\( 22-x \)
当天产量\( 1200x \)\( 2000(22-x) \)
可用总量\( 1200x \)\( 2000(22-x)+4400 \)
代回检验1320026400
配套比较“可用总量”，库存只加在螺母一边。

库存只加在螺母一边；比较可用总量

平均与取整

方案螺柱支持套数螺母支持套数
11人＋11人1320011000
原22人平均分剩2200柱缺4400母
23人全部上工\( 1200x \)\( 1000(23-x) \)
精确解\( x=115/11 \)不是整数
试取10人1200013000
试取11人1320012000

总数对 ≠ 刚好配套；人数必须是整数

45天最多

一套的组成3个甲零件＋2个乙零件先数零件，再数完整的套
比较的量甲零件乙零件
每单位产量120100
天数 / 天\( x \)\( 45-x \)
产量 / 个\( 120x \)\( 100(45-x) \)
可配套数\( 120x/3 \)\( 100(45-x)/2 \)
分配结果2520
换成“套”后，刚好配套才要求两边相等
3000 ÷ 3 = 2000 ÷ 2 = 1000 套

“最多”由不足的那种部件决定

同一配套骨架；库存、整数、“最多”各改变一处的判断。
03

独立完成与归纳

先留下完整独立答案，再按需逐步核对。

独立出口 · 44名工人

原创变式，依据第1份 P4
仍为每人每天生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱配2个螺母。现在有44名工人。请独立设未知数、列方程、求人数，并检验。
一套的组成1个螺柱＋2个螺母先数零件，再数完整的套
比较的量螺柱螺母
每单位产量12002000
人数 / 人\( x \)待表示\( 44-x \)待表示
产量 / 个\( 1200x \)待表示\( 2000(44-x) \)待表示
可配套数\( 1200x/1 \)待表示\( 2000(44-x)/2 \)待表示
分配结果20待表示24待表示
换成“套”后，刚好配套才要求两边相等
24000 ÷ 1 = 48000 ÷ 2 = 24000 套

不点击解析，先独立完成设元、方程和两项检验。

01

先分配资源，另一部分怎样表示？

设螺柱分配 \( x \)，则螺母为 \( 44-x \)。
两部分合起来固定为44；未知数表示人数。
02

分配数怎样变成两种产量？

螺柱为\( 1200x \)，螺母为\( 2000(44-x) \)。
每单位产量 × 分配数 = 这一种部件的总产量。
03

不同零件的个数，怎样换成同一种量？

分别能配\( 1200x/1 \)套与\( 2000(44-x)/2 \)套。
一套用1个螺柱、2个螺母，故各自除以每套用量。
04

“刚好配套”要求哪两个量相等？

\( 1200x/1 \) = \( 2000(44-x)/2 \)。
两种部件支持同样多的整套产品，才能都刚好用完。
05

解出的 x 回到哪一种分配？

整理得 \( 11x=220 \)，故 \( x=20 \)；另一部分24。
展开括号、移项合并，再从总量减去x求另一部分。
06

总量与配套条件都通过了吗？

\( 20+24=44 \)；两种产量都支持24000套。
24000个螺柱与48000个螺母按每套用量同时用完。
结论与检验螺柱20人，螺母24人。

不看答案，把关系讲完整

如何识别

选一道本讲原题，指出数量的对象、单位和不变的总量。

为何列这个等式

把人或材料换成产量，再换成可配套数。用图表指明等号两边各表示什么。

怎样知道答案可用

把答案代回总量与比较关系；人数、场次和题数要检查整数，价格边界要检验相邻整数。

换一个条件以后

比较库存、整数限制与“最多”的条件。先改量的表示，再决定方程，不能只换数字。

独立题能完成设元、关系、求解和实际检验，才进入下一段；未通过时回到同页图表补缺口。