Math · G7实际问题与一元一次方程
→ / Space 逐步 · ← 回退 · B 批注 · P 打印
Linear Equations · 02

工程与行程问题

题目、图表和推导留在同一页

  • 01在共同图上区分起点、时刻与行驶时间
  • 02按阶段或路程关系建立一元一次方程
  • 03条件改变后重新判断关系，而非替换数字
条件
↓
关系每次点击都回答一个问题
先思考，再揭示依据

本讲路线 · 按问题推进

01按阶段表示工作量量表与工作量图一起展开，保留每个时段的依据。P3
02用位置与时间建立行程关系追上时对齐位置；换设法时对齐同一段时间。P9
03条件改变与独立检验先判断事件顺序，再决定能用哪一个等式。P14
必须保留原题核心关系、独立列式和原条件检验。完整单元可分多次教学。
可以压缩已经能独立解释的同型计算。不能省去新条件如何改变关系。
按基础选择基础弱先补量表的一格；基础好先解变式，再比较新旧等式。
完整题面始终在场；右侧问题先可见。收到学生回应后再按 →，图上证据与对应推导同步补全，← 可退回。
01

按阶段表示工作量

量表与工作量图一起展开，保留每个时段的依据。

图书整理：分成两个时段

第2份 P4–6
一批图书由1个人做要40 h完成。先安排若干人做4 h，再增加2人与他们一起做8 h，恰好完成。假设每人的工作效率相同，应先安排多少人？
人数 × 时长 = 人时；图为阶段示意，非比例前 4 h后 8 h人员变化点x人x+2人4x8(x+2)
阶段人数×时间占全工程
前段\( 4x \)待表示\( 4x/40 \)待表示
后段\( 8(x+2) \)待表示\( 8(x+2)/40 \)待表示
完成目标 1 → 两段工作量相加
代回人数 2 与 4，再核对总人时。

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

何时人数发生变化，后段有几人？

先安排 \( x \) 人，后段有 \( x+2 \) 人。
原来的人继续工作，再加入2人。
02

前段工作量为什么要乘两项？

前段完成 \( 4x \) 人时，占全工程 \( 4x/40 \)。
每人效率相同，全工程等价于40人时。
03

后段工作量包含了哪些人的劳动？

后段完成 \( 8(x+2) \) 人时，占全工程 \( 8(x+2)/40 \)。
每一段都用这一段的人数乘这一段时长。
04

两段之和应等于1，还是别的比例？

\( 4x/40+8(x+2)/40=1 \)。
题设要求完成1，即40人时；两边计量必须一致。
05

算出的安排满足原过程吗？

整理 \( 12x+16=40 \)，得 \( x=2 \)；代回共40人时。
同时检验前后人数、总工作量与实际取值。
结论与检验先安排2人；后一时段是4人一起工作8 h。

数据整理：只完成四分之三

第2份 P12
1人单独整理一批数据需80 h。先安排若干人做2 h，再增加5人共同做8 h，共完成全部的3/4。假设每个人效率相同，先安排了多少人？
人数 × 时长 = 人时；图为阶段示意，非比例前 2 h后 8 h人员变化点x人x+5人2x8(x+5)
阶段人数×时间占全工程
前段\( 2x \)待表示\( 2x/80 \)待表示
后段\( 8(x+5) \)待表示\( 8(x+5)/80 \)待表示
完成目标 3/4 → 两段工作量相加
代回人数 2 与 7，再核对总人时。

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

何时人数发生变化，后段有几人？

先安排 \( x \) 人，后段有 \( x+5 \) 人。
原来的人继续工作，再加入5人。
02

前段工作量为什么要乘两项？

前段完成 \( 2x \) 人时，占全工程 \( 2x/80 \)。
每人效率相同，全工程等价于80人时。
03

后段工作量包含了哪些人的劳动？

后段完成 \( 8(x+5) \) 人时，占全工程 \( 8(x+5)/80 \)。
每一段都用这一段的人数乘这一段时长。
04

两段之和应等于1，还是别的比例？

\( 2x/80+8(x+5)/80=3/4 \)。
题设要求完成3/4，即60人时；两边计量必须一致。
05

算出的安排满足原过程吗？

整理 \( 10x+40=60 \)，得 \( x=2 \)；代回共60人时。
同时检验前后人数、总工作量与实际取值。
结论与检验先安排2人。

独立练习 · 52人时怎样组成

原创工程变式，依据原稿2第4至6页
一项工作由1人单独需52 h。先安排若干人做4 h，再增加2人与他们共同工作6 h，恰好完成。每人效率相同，求最初人数。
人数 × 时长 = 人时；图为阶段示意，非比例前 4 h后 6 h人员变化点x人x+2人4x6(x+2)
阶段人数×时间占全工程
前段\( 4x \)待表示\( 4x/52 \)待表示
后段\( 6(x+2) \)待表示\( 6(x+2)/52 \)待表示
完成目标 1 → 两段工作量相加
代回人数 4 与 6，再核对总人时。

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

何时人数发生变化，后段有几人？

先安排 \( x \) 人，后段有 \( x+2 \) 人。
原来的人继续工作，再加入2人。
02

前段工作量为什么要乘两项？

前段完成 \( 4x \) 人时，占全工程 \( 4x/52 \)。
每人效率相同，全工程等价于52人时。
03

后段工作量包含了哪些人的劳动？

后段完成 \( 6(x+2) \) 人时，占全工程 \( 6(x+2)/52 \)。
每一段都用这一段的人数乘这一段时长。
04

两段之和应等于1，还是别的比例？

\( 4x/52+6(x+2)/52=1 \)。
题设要求完成1，即52人时；两边计量必须一致。
05

算出的安排满足原过程吗？

整理 \( 10x+12=52 \)，得 \( x=4 \)；代回共52人时。
同时检验前后人数、总工作量与实际取值。
结论与检验最初4人，后来6人；总计52人时。

人员离开 · 方程哪一项变了

原创工程变式，依据原稿2第4至6页
一项工作由1人单独需60 h。先安排若干人做3 h，再有2人离开，余下的人继续工作6 h，恰好完成。每人效率相同，求最初人数。
人数 × 时长 = 人时；图为阶段示意，非比例前 3 h后 6 h人员变化点x人x-2人3x6(x-2)
阶段人数×时间占全工程
前段\( 3x \)待表示\( 3x/60 \)待表示
后段\( 6(x-2) \)待表示\( 6(x-2)/60 \)待表示
完成目标 1 → 两段工作量相加
代回人数 8 与 6，再核对总人时。

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

何时人数发生变化，后段有几人？

先安排 \( x \) 人，后段有 \( x-2 \) 人。
离开2人，剩下的人继续工作。
02

前段工作量为什么要乘两项？

前段完成 \( 3x \) 人时，占全工程 \( 3x/60 \)。
每人效率相同，全工程等价于60人时。
03

后段工作量包含了哪些人的劳动？

后段完成 \( 6(x-2) \) 人时，占全工程 \( 6(x-2)/60 \)。
每一段都用这一段的人数乘这一段时长。
04

两段之和应等于1，还是别的比例？

\( 3x/60+6(x-2)/60=1 \)。
题设要求完成1，即60人时；两边计量必须一致。
05

算出的安排满足原过程吗？

整理 \( 9x-12=60 \)，得 \( x=8 \)；代回共60人时。
同时检验前后人数、总工作量与实际取值。
结论与检验最初8人，后来6人；总计60人时。

图例对照 · 同一张分段图

本讲各页图例汇总 · 均为完成态

图书整理

人数 × 时长 = 人时；图为阶段示意，非比例前 4 h后 8 h人员变化点x人x+2人4x8(x+2)
阶段人数×时间占全工程
前段\( 4x \)\( 4x/40 \)
后段\( 8(x+2) \)\( 8(x+2)/40 \)
完成目标 1 → 两段工作量相加
代回人数 2 与 4，再核对总人时。

先4h后8h增2人；两段人时相加

数据整理 3/4

人数 × 时长 = 人时；图为阶段示意，非比例前 2 h后 8 h人员变化点x人x+5人2x8(x+5)
阶段人数×时间占全工程
前段\( 2x \)\( 2x/80 \)
后段\( 8(x+5) \)\( 8(x+5)/80 \)
完成目标 3/4 → 两段工作量相加
代回人数 2 与 7，再核对总人时。

完成比例进等号右边

52人时

人数 × 时长 = 人时；图为阶段示意，非比例前 4 h后 6 h人员变化点x人x+2人4x6(x+2)
阶段人数×时间占全工程
前段\( 4x \)\( 4x/52 \)
后段\( 6(x+2) \)\( 6(x+2)/52 \)
完成目标 1 → 两段工作量相加
代回人数 4 与 6，再核对总人时。

同样结构，换成52人时

人员离开

人数 × 时长 = 人时；图为阶段示意，非比例前 3 h后 6 h人员变化点x人x-2人3x6(x-2)
阶段人数×时间占全工程
前段\( 3x \)\( 3x/60 \)
后段\( 6(x-2) \)\( 6(x-2)/60 \)
完成目标 1 → 两段工作量相加
代回人数 8 与 6，再核对总人时。

−2人：后段项写成 x−2

同一分段图；人数增减只改后段项，完成比例只改等号右边。
02

用位置与时间建立行程关系

追上时对齐位置；换设法时对齐同一段时间。

动车追及 · 先定位，再对齐时间

第2份 P7–11
A、B两站相距360 km，B在A前方。货车从B出发，速度160 km/h；30 min后，动车从A同向出发，速度240 km/h。动车出发后多少小时追上货车？
同一条线路；位置按最终检验的距离比例绘制AB动车起点货车起点360 km货车先走 30 minC先行 80 km起追间距 440 km动车：240x货车全程：160(x+0.5)D 追上点距 A 都是 1320 km
对象速度 km/h用时 h
动车240待表示\( x \)待表示
货车160待表示\( x+0.5 \)待表示
同一终点 D → 从 A 量到 D 的距离相等

先画出动车刚出发时的两车位置，再解释等号两边从哪里量起。

01

货车先走的半小时，放在哪一段？

\( 30\text{ min}=0.5\text{ h} \)；\( BC=160\times0.5=80\text{ km} \)。
先行路程从 B 开始；动车尚未出发。
02

动车刚出发，两车到底相距多远？

\( AC=AB+BC=360+80=440\text{ km} \)。
原有站距和货车先行距离同时存在。
03

设动车追了 x 小时，货车走了多久？

动车用时 \( x \)，货车总用时 \( x+0.5 \)。
从各自出发时刻计时，货车多走半小时。
04

“追上”对应图上的哪条等量关系？

\( AD=AB+BD \)，故 \( 240x=360+160(x+0.5) \)。
两车最终在同一个D点；等号两边都从A量起。
05

为何能化成速度差乘时间？

\( 240x=440+160x\Rightarrow80x=440\Rightarrow x=5.5 \)。
每小时缩短80 km，需要缩短的间距为440 km。
06

求得的时间，代回位置真的相同吗？

动车 \( 240\times5.5=1320 \)；货车位置 \( 360+160\times6=1320 \)。
检验的是两车在同一坐标中的位置。
结论与检验动车出发后5.5 h追上；货车从出发到被追上共6 h。

同一追及题 · 换设法与反驳错式

原稿2第9至11页另一解法；错式检验为补充
仍是A、B相距360 km，货车160 km/h先行30 min，动车240 km/h。①改设货车在被追赶期间走的路程y，怎样求追及时间？②有人列240x=360+160x，错在哪里？
比较项目设时间 x设路程 y
计时范围动车出发至追上动车出发至追上
货车后段路程\( 160x \)待表示\( y \)待表示
动车路程\( 240x \)待表示\( 440+y \)待表示
同段时间\( x \)待表示\( y/160=(440+y)/240 \)待表示
解与转换\( x=5.5 \)待表示\( y=880 \)，\( y/160=5.5 \)待表示
错式试算：动车距A1080 km，货车距A1160 km，仍差80 km。

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

这次的 y 包括货车先行80千米吗？

只设动车出发以后，货车走过的路程为 \( y \)。
起追时刻已经领先440 km；先行的80包含在440里。
02

动车同一时段走的路程是多少？

\( AD=440+y \)。
动车要走完起追间距，再走货车在追赶期间走过的路程。
03

为何可以比较两段的时间？

\( y/160=(440+y)/240 \)。
两段同一时刻开始、同一时刻结束，时间相等。
04

得到路程，怎样回答题目问的时间？

\( 3y=2(440+y) \)，得 \( y=880 \)；\( 880/160=5.5 \) h。
未知数改成路程后，还须转换成题目所求的时间。
05

错式 240x=360+160x 漏掉了什么？

它算出4.5 h；代回真实条件，两车位置还差80 km。
漏掉货车先行路程，错误模型不能通过原条件检验。
结论与检验两种设法都得5.5 h；440包括360站距和80先行距离，不能少一项。

骑车相遇 · 用差求速度，用和求全程

第2份 P13（修正总路程）
甲、乙从A、B两地相向骑行。甲比乙早15 min；速度比为2∶3。相遇时甲比乙少走6 km，乙已骑1 h 30 min。求两人的速度及A、B距离。
AB相遇点甲的路程乙的路程21 km27 km两段相加 = AB全程
量甲乙
用时 h\( 7/4 \)待表示\( 3/2 \)待表示
速度 km/h\( 2v \)待表示\( 3v \)待表示
路程 km\( 2v×7/4 \)待表示\( 3v×3/2 \)待表示

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

谁先出发，两个时长分别是多少？

乙 \( 1.5=3/2 \) h；甲 \( 1.5+0.25=7/4 \) h。
两人同时相遇，早出发的甲多骑15分钟。
02

速度比二比三，怎样用一个未知数？

甲速 \( 2v \)，乙速 \( 3v \)。
共同倍数v表示比例单位；路程还要各乘自己的时间。
03

“甲比乙少6”怎样进入方程？

\( 3v×3/2-2v×7/4=6 \)，所以 \( v=6 \)。
用乙路程减甲路程；较早出发不等于走得更远。
04

求出速度以后，各走了多远？

甲速12、乙速18；分别走21 km和27 km。
路程差 \( 27-21=6 \)，与原条件一致。
05

总距离还能再加6吗？

\( AB=21+27=48 \) km，不再加6。
6是两段路程之差，已经包含在27与21的关系中。
结论与检验甲12 km/h，乙18 km/h；A、B相距48 km。

图例对照 · 同一条位置线

本讲各页图例汇总 · 均为完成态

动车追及

同一条线路；位置按最终检验的距离比例绘制AB动车起点货车起点360 km货车先走 30 minC先行 80 km起追间距 440 km动车：240x货车全程：160(x+0.5)D 追上点距 A 都是 1320 km
对象速度 km/h用时 h
动车240\( x \)
货车160\( x+0.5 \)
同一终点 D → 从 A 量到 D 的距离相等

同向；等号两边都从 A 量到 D

换设路程 y

比较项目设时间 x设路程 y
计时范围动车出发至追上动车出发至追上
货车后段路程\( 160x \)\( y \)
动车路程\( 240x \)\( 440+y \)
同段时间\( x \)\( y/160=(440+y)/240 \)
解与转换\( x=5.5 \)\( y=880 \)，\( y/160=5.5 \)
错式试算：动车距A1080 km，货车距A1160 km，仍差80 km。

比的是同一段时间，不是路程

骑车相遇

AB相遇点甲的路程乙的路程21 km27 km两段相加 = AB全程
量甲乙
用时 h\( 7/4 \)\( 3/2 \)
速度 km/h\( 2v \)\( 3v \)
路程 km\( 2v×7/4 \)\( 3v×3/2 \)

相向；两段路程拼出全程

追及找同点、相遇拼全程；设元可在时间与路程之间换。
03

条件改变与独立检验

先判断事件顺序，再决定能用哪一个等式。

交换出发顺序 · 先判断阶段，再列式

原创结构迁移与边界，依据原稿2追及题
A、B相距360 km，动车240 km/h、货车160 km/h。改为动车先从A出发，货车30 min后从B出发。①多久追上？②恢复货车先行且两车同速160，能否追上？③动车先行但站距改为60，何时相遇？
条件初始位置与时间可用关系
动车先30 min先走120 km，还没到B待表示剩余站距240 km待表示
货车后出发动车x，货车x−0.5待表示\( 240x=360+160(x-0.5) \)待表示
实际检验动车840，货车位置840待表示满足x≥0.5待表示
若两车同速160起追相距440 km待表示以后每小时缩短0 km待表示
另把站距改为60动车0.25 h已到B待表示早于货车出发待表示

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

交换先后顺序，先判断哪个事件发生？

动车先走半小时只走120 km，未到360 km处的B。
货车出发时还没被追上，才能使用后段追及关系。
02

仍设动车总用时 x，货车用了多久？

\( x-0.5 \)；方程 \( 240x=360+160(x-0.5) \)。
这次货车晚出发，时间要减去半小时。
03

解为3.5小时，满足建模前提吗？

\( 80x=280 \)，\( x=3.5≥0.5 \)；位置都为840 km。
求解后检查确实进入了货车出发后的阶段。
04

恢复货车先行，若两车都160会怎样？

起追仍差440 km，以后间距始终不变，追不上。
速度差为0，无法缩短已有间距。
05

若动车先行、站距只有60呢？

动车 \( 60/240=0.25 \) h就到B，货车还未出发。
须先判断相遇发生在哪个阶段，不能照搬后段方程。
结论与检验①3.5 h；②不会追上；③动车出发0.25 h在B遇到尚未出发的货车。

独立追及 · 10分钟先行

原创独立练习，依据原稿2追及模型
骑车人从同一地点先出发10 min，速度12 km/h；汽车随后同向出发，速度36 km/h。汽车出发后多少分钟追上？
对象骑车人汽车
速度 km/h1236
先行时间 h\( 1/6 \)待表示0待表示
从各自出发计时\( x+1/6 \)待表示\( x \)待表示
同终点路程\( 12(x+1/6) \)待表示\( 36x \)待表示
代回路程3待表示3待表示

先独立列式和换算时间，再逐步核对。

01

早出发的分钟怎样换成小时？

10 min = \( 1/6 \) h；先行路程为2 km。
速度单位是km/h，时间也应统一成小时。
02

设汽车用了 x，骑车人用了多久？

汽车 \( x \) h；骑车人 \( x+1/6 \) h。
两者同一地点出发，只是计时起点相差先行时长。
03

同地出发、同处追上，哪个量相等？

\( 36x=12(x+1/6) \)。
起点与终点都相同，二者路程相等。
04

小时答案怎样变成分钟并检验？

解得汽车用时5 min；两者都行驶3 km。
计算中的小时解要乘60，才能回答题目问的分钟。
结论与检验汽车出发后5 min追上，路程3 km。

独立追及 · 15分钟先行

原创独立练习，依据原稿2追及模型
骑车人从同一地点先出发15 min，速度12 km/h；汽车随后同向出发，速度36 km/h。汽车出发后多少分钟追上？
对象骑车人汽车
速度 km/h1236
先行时间 h\( 1/4 \)待表示0待表示
从各自出发计时\( x+1/4 \)待表示\( x \)待表示
同终点路程\( 12(x+1/4) \)待表示\( 36x \)待表示
代回路程4.5待表示4.5待表示

先独立列式和换算时间，再逐步核对。

01

早出发的分钟怎样换成小时？

15 min = \( 1/4 \) h；先行路程为3 km。
速度单位是km/h，时间也应统一成小时。
02

设汽车用了 x，骑车人用了多久？

汽车 \( x \) h；骑车人 \( x+1/4 \) h。
两者同一地点出发，只是计时起点相差先行时长。
03

同地出发、同处追上，哪个量相等？

\( 36x=12(x+1/4) \)。
起点与终点都相同，二者路程相等。
04

小时答案怎样变成分钟并检验？

解得汽车用时7.5 min；两者都行驶4.5 km。
计算中的小时解要乘60，才能回答题目问的分钟。
结论与检验汽车出发后7.5 min追上，路程4.5 km。

图例对照 · 同一张追及量表

本讲各页图例汇总 · 均为完成态

交换顺序

条件初始位置与时间可用关系
动车先30 min先走120 km，还没到B剩余站距240 km
货车后出发动车x，货车x−0.5\( 240x=360+160(x-0.5) \)
实际检验动车840，货车位置840满足x≥0.5
若两车同速160起追相距440 km以后每小时缩短0 km
另把站距改为60动车0.25 h已到B早于货车出发

写 x−0.5 前先判断是否已出发

10 min先行

对象骑车人汽车
速度 km/h1236
先行时间 h\( 1/6 \)0
从各自出发计时\( x+1/6 \)\( x \)
同终点路程\( 12(x+1/6) \)\( 36x \)
代回路程33

h=1/6；骨架不变

15 min先行

对象骑车人汽车
速度 km/h1236
先行时间 h\( 1/4 \)0
从各自出发计时\( x+1/4 \)\( x \)
同终点路程\( 12(x+1/4) \)\( 36x \)
代回路程4.54.5

h=1/4；骨架不变

骨架相同；变的只是计时起点与单位换算。

不看答案，把关系讲完整

如何识别

选一道本讲原题，指出数量的对象、单位和不变的总量。

为何列这个等式

在共同图上区分起点、时刻与行驶时间。用图表指明等号两边各表示什么。

怎样知道答案可用

把答案代回总量与比较关系；人数、场次和题数要检查整数，价格边界要检验相邻整数。

换一个条件以后

按阶段或路程关系建立一元一次方程。先改量的表示，再决定方程，不能只换数字。

独立题能完成设元、关系、求解和实际检验，才进入下一段；未通过时回到同页图表补缺口。