Math · G7实际问题与一元一次方程
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Linear Equations · 03

销售中的盈亏

题目、图表和推导留在同一页

  • 01指出每个百分数以哪个金额为基数
  • 02分开可售数量与已经支付的成本
  • 03检验最低价、整数价格和分批销售条件
条件
↓
关系每次点击都回答一个问题
先思考，再揭示依据

本讲路线 · 按问题推进

01百分率先找基数先区分金额与比例，再把百分率还原为实际收支。P3
02从单件价格走到整批收支购入、损坏和出售各影响什么量？价格和数量单位都须一致。P7
03迁移与独立检验保留原稿交易题，并用反向折扣检验基数理解。P13
必须保留原题核心关系、独立列式和原条件检验。完整单元可分多次教学。
可以压缩已经能独立解释的同型计算。不能省去新条件如何改变关系。
按基础选择基础弱先补量表的一格；基础好先解变式，再比较新旧等式。
完整题面始终在场；右侧问题先可见。收到学生回应后再按 →，图上证据与对应推导同步补全，← 可退回。
01

百分率先找基数

先区分金额与比例，再把百分率还原为实际收支。

先分清基数 · 四个短题独立判断

原稿3第4至5页；亏损利润符号已订正
①进150元、售180元，利润与利润率？②进1000元、标1500元，七折售出，售价、利润、利润率？③原售价a降低10%后是多少？④进价50元，盈利或亏损20%时利润各是多少？
已知情境需要先比较什么结果
进150，售180售价 − 进价待表示利润30；利润率20%待表示
进1000，标1500，七折先算成交价，再减进价待表示售价1050；利润50；5%待表示
原价a，降低10%降低额为原价的10%待表示\( 0.9a \)待表示
进价50，盈／亏20%利润率的基数均为50待表示利润 +10／−10待表示
打折乘标价；利润率除以进价。两个基数分别指出来。

先独立口算，并为每一个百分数指出计算基数。

01

利润与利润率各比较哪两个量？

\( 180-150=30 \)；\( 30/150=20\% \)。
利润是金额；利润率是相对进价的比例。
02

七折以后仍会盈利吗？

\( 1500×0.7=1050 \)；利润50；\( 50/1000=5\% \)。
打折基数为标价，判断盈亏还要与进价比较。
03

“降低10%”保留了原价的多少？

\( a-0.1a=0.9a \)。
减少部分和保留部分都以原价a为基数。
04

亏损时，“利润”还能写成正数吗？

\( 50×20\%=10 \)；盈利利润+10，亏损利润−10。
亏损金额为10，带符号的利润为−10。
结论与检验利润=售价−进价；利润率=利润÷进价；折扣作用于标价。

两件衣服 · 为什么两个25%抵消不了

第3份 P6–8
两件衣服的售价都是60元。一件盈利25%，另一件亏损25%。合计是盈利、亏损，还是不盈不亏？请先写判断，再分别计算进价。
量盈利的一笔亏损的一笔
收入 / 元6060
利润率25%-25%
进价方程\( 1.25x=60 \)待表示\( 0.75y=60 \)待表示
进价 / 元48待表示80待表示
利润金额12待表示-20待表示
亏损那笔：0.75y = 60，因此进价 80 元
总收入 120 − 总成本 128 = -8 元
换成进价都60 → 利润 +15 与 −15，才会互相抵消。

先写盈利、亏损或持平的预测，再用进价与利润金额检查自己的理由。

01

盈利率是进价的百分之几，怎样还原？

设进价x，\( 1.25x=60 \)，得 \( x=48 \)。
收入包含进价本身和按进价计算的利润。
02

亏损后的售价占原进价多少？

\( 0.75y=60 \)，得 \( y=80 \)。
亏损率以原进价为基数，售价只剩对应比例。
03

相同百分率对应的金额相同吗？

分别盈利12元、亏损20元。
百分率的基数不同，必须先换成金额才能相加。
04

合起来应该怎样判断？

总收入120元，总成本128元，亏损8元。
用总收入减总成本，也与两笔利润金额之和一致。
05

若改成进价都60，又会怎样？

售价75与45；利润+15与−15，合计不盈不亏。
这次两个25%的基数都为60，条件的变化决定结果。
结论与检验合计亏损8元；两次25%的基数分别为48元和80元。

图例对照 · 每个百分数先问基数

本讲各页图例汇总 · 均为完成态

四个短题

已知情境需要先比较什么结果
进150，售180售价 − 进价利润30；利润率20%
进1000，标1500，七折先算成交价，再减进价售价1050；利润50；5%
原价a，降低10%降低额为原价的10%\( 0.9a \)
进价50，盈／亏20%利润率的基数均为50利润 +10／−10
打折乘标价；利润率除以进价。两个基数分别指出来。

利润、折扣、降率：先指基数

两件衣服

量盈利的一笔亏损的一笔
收入 / 元6060
利润率25%-25%
进价方程\( 1.25x=60 \)\( 0.75y=60 \)
进价 / 元4880
利润金额12-20
亏损那笔：0.75y = 60，因此进价 80 元
总收入 120 − 总成本 128 = -8 元
换成进价都60 → 利润 +15 与 −15，才会互相抵消。

同为25%，基数不同才不抵消

百分率没有基数就没有意义；合账要换回金额。
02

从单件价格走到整批收支

购入、损坏和出售各影响什么量？价格和数量单位都须一致。

篮球进货 · 相等的是单价还是总费用

第3份 P9–10
四月购进70个篮球，五月购进同种篮球60个。两次单价之和为65元，而且两次进货总费用相同。求四月和五月的进货单价。
量四月五月
购入个数7060
进价 / 元\( x \)待表示\( 65-x \)待表示
总费用 / 元\( 70x \)待表示\( 60(65-x) \)待表示
进价结果30待表示35待表示
总费用检验2100待表示2100待表示
数量 × 单价 = 总费用；相等的是两批总费用。

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

单价和65，另一个单价怎样表示？

设四月x元，则五月为 \( 65-x \) 元。
65是两个单价的和，并非两批总费用。
02

70与60怎样参与计算？

四月费用 \( 70x \)，五月费用 \( 60(65-x) \)。
个数乘元/个，所得单位才是元。
03

“费用相同”为什么不能写成x=65−x？

\( 70x=60(65-x) \)。
每批买的个数不同；相同费用不要求单价相同。
04

方程怎样给出两个月的单价？

\( 130x=3900 \)，得 \( x=30 \)；五月35元。
两个月单价都要回答，且二者相加应为65。
05

下一问会用到哪一个成本数？

两批各2100元，总成本4200元。
这一成本来自实际购进，不会随之后损坏自动减少。
结论与检验四月30元/个，五月35元/个；两批总成本4200元。

损坏与最低价 · 数量和成本分开算

第3份 P11（修正原答案）
四月购进70个篮球，单价30元；五月购进60个，单价35元。五月有10%损坏不能卖，其余按同一整数价格全部卖出。要获利不低于2000元，每个至少卖多少元？
批次购进 / 成本可出售
四月70个 / 2100元70个
五月60个 / 2100元54个待表示
合计130个 / 4200元待表示124个待表示
统一售价p成本4200待表示\( 124p \)收入待表示
价格检验49元利润1876待表示50元利润2000待表示
临界售价 50 元；目标是“至少”，再比较相邻整数。

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

哪些球还能带来销售收入？

可出售 \( 130-6=124 \) 个。
损耗率10%只作用于五月60个。
02

损坏以后，原来的进货款减少了吗？

已支付的成本仍为4200元。
题设没有退款或赔偿；损坏只减少收入数量。
03

同价卖完后，利润怎样表示？

设单价p元，利润为 \( 124p-4200 \)。
总收入用可售数量乘单价，再减全部成本。
04

怎样找到“不低于”的边界？

\( 124p-4200=2000 \)，临界 \( p=50 \)。
先求恰好达到目标的售价，更低的售价利润更少。
05

为何最低整数价选这个数？

49元利润1876，50元利润2000，故至少50元。
用相邻整数直接检验，不能用四舍五入替代不低于条件。
结论与检验至少50元/个；收入按124个算，成本仍为4200元。

最低整数价 · 边界与相邻价格

原创结构迁移，依据原稿3第11页
购进50个球，每个20元，其中2个损坏且无赔偿，其余按同一整数价全部出售。要利润至少500元，每个最低卖多少元？
一批球购进出售
个数50待判断
损坏后数量5048待表示
成本与收入已付1000待表示\( 48p \)待表示
目标利润500待表示收入−成本待表示
整数价格检验31元赚488待表示32元赚536待表示
临界售价 31.25 元；目标是“至少”，再比较相邻整数。

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

哪些球还能带来销售收入？

可出售 \( 50-2=48 \) 个。
损坏2个不能出售，数量从50变48。
02

损坏以后，原来的进货款减少了吗？

已支付的成本仍为1000元。
题设没有退款或赔偿；损坏只减少收入数量。
03

同价卖完后，利润怎样表示？

设单价p元，利润为 \( 48p-1000 \)。
总收入用可售数量乘单价，再减全部成本。
04

怎样找到“不低于”的边界？

\( 48p-1000=500 \)，临界 \( p=31.25 \)。
先求恰好达到目标的售价，更低的售价利润更少。
05

为何最低整数价选这个数？

31元利润488，32元利润536，故至少32元。
用相邻整数直接检验，不能用四舍五入替代不低于条件。
结论与检验至少32元/个；收入按48个算，成本仍为1000元。

手套两问连讲 · 价格基数与销售单位

原稿3第13至14页；加价率名称已订正
手套按进价提高40%标价，再打八折，每副售28元。①求进价。②先按28元卖出一半，余下一半按每3副80元全部售出，共获利2800元，求进货副数。
价格变化与两批利润进价 x标价1.4x售28+40%×0.825元35元利润3元
销售批次数量与单位每单位利润
第一半\( y/2 \) 副待表示每副3元待表示
第二半\( y/6 \) 组待表示每3副一组赚5元待表示
批利润相加\( 3y/2+5y/6 \)待表示共2800元待表示
代回总数量600副；200组待表示1800＋1000元待表示
标价的40%是加价率；实际利润率要按成交价重新算。

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

提高40%后八折，是同一个基数吗？

标价 \( 1.4x \)，售价 \( 0.8×1.4x=28 \)。
40%以进价为基数，八折以标价为基数。
02

进价与实际利润率分别是多少？

\( x=25 \)；每副利润3元，实际利润率 \( 3/25=12\% \)。
打折后的实际利润率已不再是40%。
03

总数为y，前一半贡献多少利润？

前半 \( y/2 \) 副，利润 \( 3y/2 \)。
每副利润3元乘副数，单位为元。
04

“每3副80”应该按副还是按组算？

后半 \( y/2 \) 副即 \( y/6 \) 组；每组利润 \( 80-75=5 \)。
组数要除以3，组利润也按3副的成本算。
05

总利润2800给出怎样的方程？

\( 3y/2+5y/6=2800 \)，得 \( y=1200 \)。
把两批各自的利润金额相加，不能直接加单价。
06

平分与分组的要求都满足吗？

前600副赚1800；后600副为200组，赚1000。
总数可平分，后一半能按3副分组，利润和也吻合。
结论与检验每副进价25元；共1200副。第二批按组计利润，不能混淆副数与组数。

图例对照 · 三种口径别混用

本讲各页图例汇总 · 均为完成态

篮球进货

量四月五月
购入个数7060
进价 / 元\( x \)\( 65-x \)
总费用 / 元\( 70x \)\( 60(65-x) \)
进价结果3035
总费用检验21002100
数量 × 单价 = 总费用；相等的是两批总费用。

相等的是总费用，不是单价

损坏与最低价

批次购进 / 成本可出售
四月70个 / 2100元70个
五月60个 / 2100元54个
合计130个 / 4200元124个
统一售价p成本4200\( 124p \)收入
价格检验49元利润187650元利润2000
临界售价 50 元；目标是“至少”，再比较相邻整数。

成本照付，收入按124个

最低整数价

一批球购进出售
个数50待判断
损坏后数量5048
成本与收入已付1000\( 48p \)
目标利润500收入−成本
整数价格检验31元赚48832元赚536
临界售价 31.25 元；目标是“至少”，再比较相邻整数。

“至少”要检验相邻整数

手套两问

价格变化与两批利润进价 x标价1.4x售28+40%×0.825元35元利润3元
销售批次数量与单位每单位利润
第一半\( y/2 \) 副每副3元
第二半\( y/6 \) 组每3副一组赚5元
批利润相加\( 3y/2+5y/6 \)共2800元
代回总数量600副；200组1800＋1000元
标价的40%是加价率；实际利润率要按成交价重新算。

进价→标价→售价，三个价格

分清口径：购进的个数、能出售的个数、已支付的成本，是三件事。
03

迁移与独立检验

保留原稿交易题，并用反向折扣检验基数理解。

两笔交易 · 先还原本金，再合计

第3份 P12
甲种股票卖出1500元，盈利20%；乙种股票卖出1600元，亏损20%。仅按题目给出的买卖价计算，不计其他费用。此次合计盈利还是亏损？金额多少？
量盈利的一笔亏损的一笔
收入 / 元15001600
利润率20%-20%
进价方程\( 1.2x=1500 \)待表示\( 0.8y=1600 \)待表示
进价 / 元1250待表示2000待表示
利润金额250待表示-400待表示
亏损那笔：0.8y = 1600，因此进价 2000 元
总收入 3100 − 总成本 3250 = -150 元

先写盈利、亏损或持平的预测，再用进价与利润金额检查自己的理由。

01

盈利率是进价的百分之几，怎样还原？

设进价x，\( 1.2x=1500 \)，得 \( x=1250 \)。
收入包含进价本身和按进价计算的利润。
02

亏损后的售价占原进价多少？

\( 0.8y=1600 \)，得 \( y=2000 \)。
亏损率以原进价为基数，售价只剩对应比例。
03

相同百分率对应的金额相同吗？

分别盈利250元、亏损400元。
百分率的基数不同，必须先换成金额才能相加。
04

合起来应该怎样判断？

总收入3100元，总成本3250元，亏损150元。
用总收入减总成本，也与两笔利润金额之和一致。
结论与检验合计亏损150元。这是题设下的数学计算情境。

独立出口 · 三个价格与反向折扣

原创出口与反向设问，依据原稿3价格模型
商品进价80元，提高50%标价，再按标价八折出售。①求售价、利润和利润率，注明基数。②按同一标价，最低打几折不亏？若只允许整数折数呢？
价格阶段依据计算
进价→标价以进价为基数待表示\( 80×1.5=120 \)待表示
标价→售价以标价为基数待表示\( 120×0.8=96 \)待表示
利润与利润率回到进价80待表示\( 96-80=16 \)；\( 16/80=20\% \)待表示
保本边界售价至少80待表示\( 120q=80 \)；\( q=2/3 \)待表示
整数折数检验六折与七折待表示72亏8；84赚4待表示

先独立完成①；再尝试②，写出折扣乘数与折数的区别。

01

提高50%以后，标价怎样算？

\( 80×(1+50\%)=120 \)元。
50%作用于进价80元。
02

八折乘的是80还是120？

\( 120×0.8=96 \)元。
八折作用于标价，题目每一步都应标明基数。
03

利润率的分母为什么又回到80？

利润16元，利润率 \( 16/80=20\% \)。
利润率相对投入成本定义，分母用进价。
04

如果反过来问最低折扣，怎样列式？

设成交价是标价q倍，保本 \( 120q=80 \)，得 \( q=2/3 \)。
先让售价等于进价找边界；q是价格乘数。
05

2/3倍等于2/3折吗？

约6.67折；若只取整数折数，最低七折。
折数等于价格乘数的10倍；六折亏8元、七折赚4元。
结论与检验售价96元，利润16元，利润率20%；保本约6.67折，整数折数至少七折。

图例对照 · 同一条价格链

本讲各页图例汇总 · 均为完成态

股票两笔

量盈利的一笔亏损的一笔
收入 / 元15001600
利润率20%-20%
进价方程\( 1.2x=1500 \)\( 0.8y=1600 \)
进价 / 元12502000
利润金额250-400
亏损那笔：0.8y = 1600，因此进价 2000 元
总收入 3100 − 总成本 3250 = -150 元

收入不同，本金各自还原

反向折扣

价格阶段依据计算
进价→标价以进价为基数\( 80×1.5=120 \)
标价→售价以标价为基数\( 120×0.8=96 \)
利润与利润率回到进价80\( 96-80=16 \)；\( 16/80=20\% \)
保本边界售价至少80\( 120q=80 \)；\( q=2/3 \)
整数折数检验六折与七折72亏8；84赚4

折数是价格乘数 ×10

同一基数链；换问法时先找“恰好保本”的边界。

不看答案，把关系讲完整

如何识别

选一道本讲原题，指出数量的对象、单位和不变的总量。

为何列这个等式

指出每个百分数以哪个金额为基数。用图表指明等号两边各表示什么。

怎样知道答案可用

把答案代回总量与比较关系；人数、场次和题数要检查整数，价格边界要检验相邻整数。

换一个条件以后

分开可售数量与已经支付的成本。先改量的表示，再决定方程，不能只换数字。

独立题能完成设元、关系、求解和实际检验，才进入下一段；未通过时回到同页图表补缺口。