Math · G7实际问题与一元一次方程
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Linear Equations · 04

积分表与实际检验

题目、图表和推导留在同一页

  • 01从特殊行或两行差异中推断计分规则
  • 02把每类场数或题数表示成一个未知数
  • 03用整数和范围限制判断某个总分能否达到
条件
↓
关系每次点击都回答一个问题
先思考，再揭示依据

本讲路线 · 按问题推进

01从表格推出规则先选择能隔离贡献的记录，再检验其他行。P3
02条件变化时重新表示表格差异、倍数关系与不同扣分，都必须回到各类贡献。P8
03独立迁移与归纳留空题改变对错总数；检验不能只检查积分。P13
必须保留原题核心关系、独立列式和原条件检验。完整单元可分多次教学。
可以压缩已经能独立解释的同型计算。不能省去新条件如何改变关系。
按基础选择基础弱先补量表的一格；基础好先解变式，再比较新旧等式。
完整题面始终在场；右侧问题先可见。收到学生回应后再按 →，图上证据与对应推导同步补全，← 可退回。
01

从表格推出规则

先选择能隔离贡献的记录，再检验其他行。

积分榜 · 特殊行定规则，普通行作检验

第4份 P6–10
某篮球联赛计分规则统一，没有平局。根据表格判断胜一场、负一场各积多少分，并用另一个队的数据检验。
队名场次胜负积分
前进1410424
东方1410424
光明149523
蓝天149523
雄鹰147721
远大147721
卫星1441018
钢铁1401414
0胜 → 没有胜场贡献 → 14分全部来自14场负场
一般情况胜负
14场中各占多少\( m \)待表示\( 14-m \)待表示
各贡献多少分\( 2m \)待表示\( 14-m \)待表示
23分对应场数9待表示5待表示

先圈一行最有用的数据，说明选它的理由，再计算。

01

先看哪一行，能直接隔离一个分值？

钢铁0胜14负积14分，故负一场1分。
这一行没有胜场贡献，只剩一种结果。
02

负场分值确定后，怎样求胜一场？

设胜一场a分，\( 10a+4=24 \)，得 \( a=2 \)。
前进队的总分由10场胜分和4场负分相加。
03

只解释两行，规则就不用再查了吗？

卫星 \( 4×2+10×1=18 \)，其他各行也吻合。
统一规则必须解释表中所有记录。
04

任意一队胜m场，总积分怎样写？

\( 2m+(14-m)=m+14 \)。
14场拆成胜与负两类；负场也有积分。
05

反过来，23分对应多少胜场？

\( m+14=23 \)，得 \( m=9 \)，负5场。
反求场数仍须保留负场的积分，不能直接23÷2。
结论与检验本题规则：胜一场2分，负一场1分。

胜分与负分相等 · 分数解能不能用

原稿4第12页；12场出口与N场推广为原创补充
联赛无平局，胜一场2分、负一场1分。①共14场，胜场总积分能否等于负场总积分？②改为12场呢？③推广到N场，什么条件下可能？用15与16场检验。
比赛总数胜x场、负其余胜分等于负分
14场\( x \) 与 \( 14-x \)待表示\( 2x=14-x \)待表示
14场求解\( x=14/3 \)待表示不符合整数场次待表示
试四舍五入为5胜分10，负分9待表示条件已不相等待表示
12场\( 2x=12-x \)待表示\( x=4 \)，负8场待表示
推广N场\( 2x=N-x \)待表示\( N=3x \)待表示
检验15与1615场可5胜10负待表示16场不可待表示

先独立回答①②，保留原答；完成后再尝试一般条件。

01

相等的是场数，还是两类总积分？

14场时设胜x场，列 \( 2x=14-x \)。
胜场每场2分，负场每场1分；比较的是分数。
02

方程有解，为什么比赛却不可实现？

\( x=14/3 \)，不是整数场数。
实际意义对未知数增加了非负整数约束。
03

取成5场，能挽救这个方案吗？

5胜9负时，两类积分为10和9，不相等。
取整后的数已经不是原方程的解。
04

如果改为12场，会有什么不同？

\( 2x=12-x \)，得4胜8负，两类各8分。
结构相同，新的总场数给出了合法整数解。
05

总场数N应满足什么条件？

\( N=3x \)，因此N须为3的倍数。
x必须为整数；反之N=3k时可取k胜2k负。
06

15与16场，怎样快速检验？

15场可5胜10负；16场不可能满足。
用一般条件判断，再用实际积分验证可行情形。
结论与检验总场数须为3的倍数；12场4胜8负可行，14场不可能。

20道必答题 · 从计分规则判断可达分数

原稿4第13至18页；94分公式与符号已订正
共20题、每题必答。根据表格推断答对、答错的计分。①F得76分，答对多少题？②G说得80分，可能吗？③为什么“答错扣1分”会让总分比全对少6分？
选手答对答错得分
A200100
B19194
C18288
D14664
E101040
判定对象方程或分数变化结论
F得76\( 5x-(20-x)=76 \)待表示16对4错待表示
G得80\( x=50/3 \)待表示不是整数题数待表示
每多错一题先少5，再扣1待表示总分每次少6待表示

先找能确定单一分值的记录；规则确定后独立列76分与80分的方程。

01

全对一行给出了什么规则？

A答对20题得100分，每答对一题5分。
这一行没有错误答案的影响。
02

B的错误题贡献了正分还是负分？

\( 19×5-a=94 \)，得扣分量 \( a=1 \)，记分为−1。
19题原应得95，实际94，错误那题扣去1。
03

带符号的分值能解释其他记录吗？

D的 \( 14×5-6=64 \)，其余记录也成立。
同一种答题结果采用相同规则。
04

F得76，错题数怎样用同一个x表示？

设答对x题，错 \( 20-x \)；解得16对4错。
每题必答，所以对与错合计20题。
05

G得80，为什么不能取一个近似题数？

\( 5x-(20-x)=80 \)，得 \( x=50/3 \)，不可能。
答对题数须为0到20之间的整数，不能四舍五入。
06

从100分起，每错一道为何下降6？

原来+5改成−1，总分减少6；错k题得 \( 100-6k \)。
80比100少20，不是整数个6；76少24，恰好4个6。
结论与检验答对+5，答错−1。76分为16对4错；80分不可达。

图例对照 · 先找能定规则的行

本讲各页图例汇总 · 均为完成态

积分榜

队名场次胜负积分
前进1410424
东方1410424
光明149523
蓝天149523
雄鹰147721
远大147721
卫星1441018
钢铁1401414
0胜 → 没有胜场贡献 → 14分全部来自14场负场
一般情况胜负
14场中各占多少\( m \)\( 14-m \)
各贡献多少分\( 2m \)\( 14-m \)
23分对应场数95

0胜行隔离出负场分值

胜负分相等

比赛总数胜x场、负其余胜分等于负分
14场\( x \) 与 \( 14-x \)\( 2x=14-x \)
14场求解\( x=14/3 \)不符合整数场次
试四舍五入为5胜分10，负分9条件已不相等
12场\( 2x=12-x \)\( x=4 \)，负8场
推广N场\( 2x=N-x \)\( N=3x \)
检验15与1615场可5胜10负16场不可

分数解要用整数场次驳回

20道必答

选手答对答错得分
A200100
B19194
C18288
D14664
E101040
判定对象方程或分数变化结论
F得76\( 5x-(20-x)=76 \)16对4错
G得80\( x=50/3 \)不是整数题数
每多错一题先少5，再扣1总分每次少6

错一题 = 少5再扣1 = −6

表格先找能单独确定规则的行，再用其余行检验。
02

条件变化时重新表示

表格差异、倍数关系与不同扣分，都必须回到各类贡献。

含平局的表 · 用相同部分消去干扰

第4份 P20–21
表中是班级球赛的计分数据，各队规则相同。①从哪两个班可直接看出平一场比负一场多几分？②若胜一场3分，平、负各几分？
班级场次胜平负积分
七(1)632114
七(2)614112
七(3)650116
七(4)651017
比较两行不变贡献变化贡献
七(3)→七(4)同为5胜待表示1负换成1平待表示
积分16→175场胜分不变待表示平比负多1分待表示
已知胜3负1待表示平2待表示
七(1)：9+4+1=14；七(2)：3+8+1=12。

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

哪两行能把胜场影响消掉？

七(3)与七(4)同为5胜；仅一场负换成平。
只比较不同的一场，其他贡献完全一样。
02

总积分多1分，说明了什么？

平一场比负一场多1分。
相同的5场胜分抵消，差值只来自那一场。
03

已知胜一场3分，怎样求平与负？

设负x分，\( 5×3+x=16 \)，得负1分、平2分。
七(3)没有平场，可先只求一个未知分值。
04

新规则能解释另外两个班吗？

七(1)得14，七(2)得12，都与原表一致。
从两行推出规则后，回查其他记录。
结论与检验七(3)与七(4)；平比负多1分。胜3分、平2分、负1分。

两个倍数条件 · 逐类表示，逐类计分

原稿4第22至23页
均比赛6场，胜3分、平2分、负1分。①某班胜场是平场2倍，积16分，胜几场？②某班平场是负场2倍，积15分，这可能吗？
量胜=平的2倍平=负的2倍
选未知数平x待表示负x待表示
胜／平／负\( 2x，x，6-3x \)待表示\( 6-3x，2x，x \)待表示
各类积分\( 6x，2x，6-3x \)待表示\( 18-9x，4x，x \)待表示
16分结果\( x=2 \)；4胜2平0负待表示\( x=3/4 \)；不可能待表示
15分方程已完成左题待表示\( 3(6-3x)+4x+x=15 \)待表示
实际检验场数均为整数待表示x=3/4，不可能待表示

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

倍数条件以谁为基准，x设给谁？

左题设平x；右题设负x。
用较直接的基准量表示其余量，可以只设一个未知数。
02

剩下的一类场数为什么是6−3x？

两类已占x与2x，剩余为 \( 6-x-2x \)。
胜、平、负合计6场，三类不能有遗漏。
03

左题每一类积分怎样相加？

\( 3×2x+2x+(6-3x)=16 \)。
每场分值分别乘对应场次，然后合计。
04

解出的x对应哪一种场次？

x是平场，因此平2、胜4、负0。
答题时要回到未知数含义，并检验6场与16分。
05

右题结构相似，能照搬左题式子吗？

\( 3(6-3x)+2×2x+x=15 \)。
右题胜场变成6−3x，乘3的对象随之改变。
06

右题得到3/4，应如何作答？

负场 \( x=3/4 \) 不是整数，因此该记录不可能。
数学解必须同时满足实际场次限制。
结论与检验①4胜2平0负。②负场解为3/4，不符合整数场次，不可能。

换一套计分规则 · 方程与列举互相核对

原稿4第24至26页；信息不足为原创解释题
20题，每题必答。A全对得100；B答对17题、错3题得79。①C得72，对错各几题？②D能得88吗？③若删去A、B，只保留16对4错72分，能否确定计分规则？
选手答对答错得分
A200100
B17379
任务列式／列举判断
C得72\( 5x-2(20-x)=72 \)待表示16对4错待表示
D得88\( x=128/7 \)待表示不是整数待表示
每错一题100，93，86，79，72待表示每次下降7待表示
只有16对4错72对5扣2；对6扣6待表示两套均可待表示

先独立读题，写出未知数与等量关系。

01

能否沿用上一题的错误扣分？

先用A得正确一题5分；错误扣分必须重新推断。
本题是另一场竞赛，计分规则要从本表读取。
02

B的三道错题一共扣了多少？

85降到79，扣6；每题扣 \( 6/3=2 \) 分。
扣分总量再除以错题数，得到单位扣分。
03

C得72，两个题数怎样都回答？

\( 5x-2(20-x)=72 \)，解得16对4错。
题目同时问对与错，二者合计20。
04

D说88分，方程给出了什么判断？

\( 7x=128 \)，解 \( 128/7 \) 非整数，所以不可能。
不能改变精确解以适应题数。
05

不用方程，列举为何也能判断？

全对100，每错一题少5再扣2，即下降7。
88在93与86之间；这些分数按7递减，无法到88。
06

若只给16对4错72，规则唯一吗？

对5扣2与对6扣6都得到72，不能唯一确定。
必须保留另一条独立信息；一条混合记录不够。
结论与检验本题答对5分、答错扣2分；72分为16对4错；88不可达。缺少独立记录则规则可能不唯一。

图例对照 · 表变了，读法不变

本讲各页图例汇总 · 均为完成态

含平局

班级场次胜平负积分
七(1)632114
七(2)614112
七(3)650116
七(4)651017
比较两行不变贡献变化贡献
七(3)→七(4)同为5胜1负换成1平
积分16→175场胜分不变平比负多1分
已知胜3负1平2
七(1)：9+4+1=14；七(2)：3+8+1=12。

比较相同两行，差值只来自一场

倍数条件

量胜=平的2倍平=负的2倍
选未知数平x负x
胜／平／负\( 2x，x，6-3x \)\( 6-3x，2x，x \)
各类积分\( 6x，2x，6-3x \)\( 18-9x，4x，x \)
16分结果\( x=2 \)；4胜2平0负\( x=3/4 \)；不可能
15分方程已完成左题\( 3(6-3x)+4x+x=15 \)
实际检验场数均为整数x=3/4，不可能

两类设元各写三类场数

换计分规则

选手答对答错得分
A200100
B17379
任务列式／列举判断
C得72\( 5x-2(20-x)=72 \)16对4错
D得88\( x=128/7 \)不是整数
每错一题100，93，86，79，72每次下降7
只有16对4错72对5扣2；对6扣6两套均可

信息不足时规则不唯一

同一读表法；行差、倍数、规则变化都回到各类贡献。
03

独立迁移与归纳

留空题改变对错总数；检验不能只检查积分。

独立迁移 · 一道不答改变了哪一项

原创结构迁移，依据原稿4第13至18页
共20题，答对得5分、答错扣1分、不答0分。恰有1题不答，总分83，求答对与答错题数。先与“每题必答”的式子比较，再独立列式。
分类题数总积分
全部题目20目标83
不答10
答对\( x \)待表示\( 5x \)待表示
答错\( 19-x \)待表示\( -(19-x) \)待表示
方程解\( x=17 \)待表示错2，空1待表示
代回检验17+2+1=20待表示85−2=83待表示

先不点解析，独立写出错题数并解释为什么不再是20−x。

01

允许一道不答后，哪一个总量改变？

实际作答只有 \( 20-1=19 \) 题。
全部题数仍为20，但对与错不再合计20。
02

设答对x题，对题贡献几分？

\( 5x \)分。
正确每题5分的规则未改变。
03

错题为什么应写19−x？

已作答19题，扣去答对x题，剩 \( 19-x \) 题。
留空题必须先从总题数中扣除。
04

总分83对应怎样的安排？

\( 5x-(19-x)=83 \)，得 \( x=17 \)。
三类积分合起来为83，其中留空贡献0。
05

两个总量都检验了吗？

题数 \( 17+2+1=20 \)；积分 \( 85-2=83 \)。
既查题数拆分，又查积分，才能验证新条件。
结论与检验17对、2错、1空；对错合计19，全部题数为20。

不看答案，把关系讲完整

如何识别

选一道本讲原题，指出数量的对象、单位和不变的总量。

为何列这个等式

从特殊行或两行差异中推断计分规则。用图表指明等号两边各表示什么。

怎样知道答案可用

把答案代回总量与比较关系；人数、场次和题数要检查整数，价格边界要检验相邻整数。

换一个条件以后

把每类场数或题数表示成一个未知数。先改量的表示，再决定方程，不能只换数字。

独立题能完成设元、关系、求解和实际检验，才进入下一段；未通过时回到同页图表补缺口。