讲法
请学生说出本讲最需要练习的关系。先收下学生的解释，再决定从哪一道题开始；原题与变式均可在目录中定位。
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。
讲法
请学生说出本讲最需要练习的关系。先收下学生的解释，再决定从哪一道题开始；原题与变式均可在目录中定位。
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。
讲法
先选择能隔离贡献的记录，再检验其他行。
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。
讲法
某篮球联赛计分规则统一，没有平局。根据表格判断胜一场、负一场各积多少分，并用另一个队的数据检验。
先让学生独立读题和表示数量，先圈一行最有用的数据，说明选它的理由，再计算。右侧问句是本题的推理顺序。每一步先问，收到有依据的回答后再点击；画面会补上相应数量或关系，已建立的证据留在原处。
提问与逐步讲解
问 先看哪一行，能直接隔离一个分值？
等 钢铁0胜14负积14分，故负一场1分。
讲清依据 这一行没有胜场贡献，只剩一种结果。
揭示 按一次 →，钢铁行突出显示，补上只含负场的解释。
避错 只看一行就猜规则，或套用其他比赛计分。
问 负场分值确定后，怎样求胜一场？
等 设胜一场a分，\( 10a+4=24 \)，得 \( a=2 \)。
讲清依据 前进队的总分由10场胜分和4场负分相加。
揭示 按一次 →，前进行突出显示并给出分值依据。
避错 只看一行就猜规则，或套用其他比赛计分。
问 只解释两行，规则就不用再查了吗？
等 卫星 \( 4×2+10×1=18 \)，其他各行也吻合。
讲清依据 统一规则必须解释表中所有记录。
揭示 按一次 →，卫星行突出显示，检验规则。
避错 只看一行就猜规则，或套用其他比赛计分。
问 任意一队胜m场，总积分怎样写？
等 \( 2m+(14-m)=m+14 \)。
讲清依据 14场拆成胜与负两类；负场也有积分。
揭示 按一次 →，下方量表补出一般场数与积分。
避错 只看一行就猜规则，或套用其他比赛计分。
问 反过来，23分对应多少胜场？
等 \( m+14=23 \)，得 \( m=9 \)，负5场。
讲清依据 反求场数仍须保留负场的积分，不能直接23÷2。
揭示 按一次 →，下方填入9胜5负；与光明、蓝天记录核对。
避错 只看一行就猜规则，或套用其他比赛计分。
观察点
学生应能指着图表解释各式中的量，并独立复述关键关系。\( m+14=23 \)，得 \( m=9 \)，负5场。
易错
只看一行就猜规则，或套用其他比赛计分。
提示阶梯
- 先找只有一种比赛结果的队伍。
- 规则要能同时解释多行数据。
每次只给一层；学生能继续就停止提示。
分支
基础弱：在量的表示处停下补一项；基础好：先独立完成，再比较理由。
材料
第4份 P6–10
讲法
联赛无平局，胜一场2分、负一场1分。①共14场，胜场总积分能否等于负场总积分？②改为12场呢？③推广到N场，什么条件下可能？用15与16场检验。
先让学生独立读题和表示数量，先独立回答①②，保留原答；完成后再尝试一般条件。右侧问句是本题的推理顺序。每一步先问，收到有依据的回答后再点击；画面会补上相应数量或关系，已建立的证据留在原处。
提问与逐步讲解
问 相等的是场数，还是两类总积分？
等 14场时设胜x场，列 \( 2x=14-x \)。
讲清依据 胜场每场2分，负场每场1分；比较的是分数。
揭示 按一次 →，量表补出14场的关系。
避错 误读为胜场数等于负场数，或把分数场次取整。
问 方程有解，为什么比赛却不可实现？
等 \( x=14/3 \)，不是整数场数。
讲清依据 实际意义对未知数增加了非负整数约束。
揭示 按一次 →，显示数学解与实际限制。
避错 误读为胜场数等于负场数，或把分数场次取整。
问 取成5场，能挽救这个方案吗？
等 5胜9负时，两类积分为10和9，不相等。
讲清依据 取整后的数已经不是原方程的解。
揭示 按一次 →，加入具体取整反例。
避错 误读为胜场数等于负场数，或把分数场次取整。
问 如果改为12场，会有什么不同？
等 \( 2x=12-x \)，得4胜8负，两类各8分。
讲清依据 结构相同，新的总场数给出了合法整数解。
揭示 按一次 →，12场的可行安排出现。
避错 误读为胜场数等于负场数，或把分数场次取整。
问 总场数N应满足什么条件？
等 \( N=3x \)，因此N须为3的倍数。
讲清依据 x必须为整数；反之N=3k时可取k胜2k负。
揭示 按一次 →，把一个例子推广成总场数条件。
避错 误读为胜场数等于负场数，或把分数场次取整。
问 15与16场，怎样快速检验？
等 15场可5胜10负；16场不可能满足。
讲清依据 用一般条件判断，再用实际积分验证可行情形。
揭示 按一次 →，补出两个不同总场数的判断。
避错 误读为胜场数等于负场数，或把分数场次取整。
观察点
学生应能指着图表解释各式中的量，并独立复述关键关系。15场可5胜10负；16场不可能满足。
易错
误读为胜场数等于负场数，或把分数场次取整。
提示阶梯
- 先说题目中哪一个总量不变。
- 在图表中分别表示两部分，再比较同类量。
- 只补最卡住的一项，剩余部分自己完成。
每次只给一层；学生能继续就停止提示。
分支
基础弱：在量的表示处停下补一项；基础好：先独立完成，再比较理由。
材料
原稿4第12页；12场出口与N场推广为原创补充
讲法
共20题、每题必答。根据表格推断答对、答错的计分。①F得76分，答对多少题？②G说得80分，可能吗？③为什么“答错扣1分”会让总分比全对少6分？
先让学生独立读题和表示数量，先找能确定单一分值的记录；规则确定后独立列76分与80分的方程。右侧问句是本题的推理顺序。每一步先问，收到有依据的回答后再点击；画面会补上相应数量或关系，已建立的证据留在原处。
提问与逐步讲解
问 全对一行给出了什么规则？
等 A答对20题得100分，每答对一题5分。
讲清依据 这一行没有错误答案的影响。
揭示 按一次 →，A行突出显示正确得分依据。
避错 把答错扣1理解为总分仅从100减错题数，或把扣分量再写成负数。
问 B的错误题贡献了正分还是负分？
等 \( 19×5-a=94 \)，得扣分量 \( a=1 \)，记分为−1。
讲清依据 19题原应得95，实际94，错误那题扣去1。
揭示 按一次 →，B行突出显示扣分依据；右侧明确正扣分与负记分。
避错 把答错扣1理解为总分仅从100减错题数，或把扣分量再写成负数。
问 带符号的分值能解释其他记录吗？
等 D的 \( 14×5-6=64 \)，其余记录也成立。
讲清依据 同一种答题结果采用相同规则。
揭示 按一次 →，D行突出显示检验。
避错 把答错扣1理解为总分仅从100减错题数，或把扣分量再写成负数。
问 F得76，错题数怎样用同一个x表示？
等 设答对x题，错 \( 20-x \)；解得16对4错。
讲清依据 每题必答，所以对与错合计20题。
揭示 按一次 →，下方F行补全关系与答案。
避错 把答错扣1理解为总分仅从100减错题数，或把扣分量再写成负数。
问 G得80，为什么不能取一个近似题数？
等 \( 5x-(20-x)=80 \)，得 \( x=50/3 \)，不可能。
讲清依据 答对题数须为0到20之间的整数，不能四舍五入。
揭示 按一次 →，G行补出分数解与实际判断。
避错 把答错扣1理解为总分仅从100减错题数，或把扣分量再写成负数。
问 从100分起，每错一道为何下降6？
等 原来+5改成−1，总分减少6；错k题得 \( 100-6k \)。
讲清依据 80比100少20，不是整数个6；76少24，恰好4个6。
揭示 按一次 →，补上从全对出发的另一种解释。
避错 把答错扣1理解为总分仅从100减错题数，或把扣分量再写成负数。
观察点
学生应能指着图表解释各式中的量，并独立复述关键关系。原来+5改成−1，总分减少6；错k题得 \( 100-6k \)。
易错
把答错扣1理解为总分仅从100减错题数，或把扣分量再写成负数。
提示阶梯
- 先说题目中哪一个总量不变。
- 在图表中分别表示两部分，再比较同类量。
- 只补最卡住的一项，剩余部分自己完成。
每次只给一层；学生能继续就停止提示。
分支
基础弱：在量的表示处停下补一项；基础好：先独立完成，再比较理由。
材料
原稿4第13至18页；94分公式与符号已订正
讲法
让学生在每张表里指出“哪一行先确定了规则”，再比较三题检验方式的异同。
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。
讲法
表格差异、倍数关系与不同扣分，都必须回到各类贡献。
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。
讲法
表中是班级球赛的计分数据，各队规则相同。①从哪两个班可直接看出平一场比负一场多几分？②若胜一场3分，平、负各几分？
先让学生独立读题和表示数量，先独立读题，写出未知数与等量关系。右侧问句是本题的推理顺序。每一步先问，收到有依据的回答后再点击；画面会补上相应数量或关系，已建立的证据留在原处。
提问与逐步讲解
问 哪两行能把胜场影响消掉？
等 七(3)与七(4)同为5胜；仅一场负换成平。
讲清依据 只比较不同的一场，其他贡献完全一样。
揭示 按一次 →，两行共同突出显示，并拆出相同与变化部分。
避错 将有平局的题设规则混作篮球通行规则。
问 总积分多1分，说明了什么？
等 平一场比负一场多1分。
讲清依据 相同的5场胜分抵消，差值只来自那一场。
揭示 按一次 →，变化贡献显示积分差为1。
避错 将有平局的题设规则混作篮球通行规则。
问 已知胜一场3分，怎样求平与负？
等 设负x分，\( 5×3+x=16 \)，得负1分、平2分。
讲清依据 七(3)没有平场，可先只求一个未知分值。
揭示 按一次 →，三类规则补全。
避错 将有平局的题设规则混作篮球通行规则。
问 新规则能解释另外两个班吗？
等 七(1)得14，七(2)得12，都与原表一致。
讲清依据 从两行推出规则后，回查其他记录。
揭示 按一次 →，两行检验与结论出现。
避错 将有平局的题设规则混作篮球通行规则。
观察点
学生应能指着图表解释各式中的量，并独立复述关键关系。七(1)得14，七(2)得12，都与原表一致。
易错
将有平局的题设规则混作篮球通行规则。
提示阶梯
- 只比较其他条件不变的两行。
- 再使用已知胜场分值。
每次只给一层；学生能继续就停止提示。
分支
基础弱：在量的表示处停下补一项；基础好：先独立完成，再比较理由。
材料
第4份 P20–21
讲法
均比赛6场，胜3分、平2分、负1分。①某班胜场是平场2倍，积16分，胜几场？②某班平场是负场2倍，积15分，这可能吗？
先让学生独立读题和表示数量，先独立读题，写出未知数与等量关系。右侧问句是本题的推理顺序。每一步先问，收到有依据的回答后再点击；画面会补上相应数量或关系，已建立的证据留在原处。
提问与逐步讲解
问 倍数条件以谁为基准，x设给谁？
等 左题设平x；右题设负x。
讲清依据 用较直接的基准量表示其余量，可以只设一个未知数。
揭示 按一次 →，两列分别写出不同的设元对象。
避错 沿用上一题的x含义，却未按新倍数关系重写三类场数。
问 剩下的一类场数为什么是6−3x？
等 两类已占x与2x，剩余为 \( 6-x-2x \)。
讲清依据 胜、平、负合计6场，三类不能有遗漏。
揭示 按一次 →，两列的三类场数完整出现。
避错 沿用上一题的x含义，却未按新倍数关系重写三类场数。
问 左题每一类积分怎样相加？
等 \( 3×2x+2x+(6-3x)=16 \)。
讲清依据 每场分值分别乘对应场次，然后合计。
揭示 按一次 →，左题填入三类积分贡献。
避错 沿用上一题的x含义，却未按新倍数关系重写三类场数。
问 解出的x对应哪一种场次？
等 x是平场，因此平2、胜4、负0。
讲清依据 答题时要回到未知数含义，并检验6场与16分。
揭示 按一次 →，左题实际结果出现。
避错 沿用上一题的x含义，却未按新倍数关系重写三类场数。
问 右题结构相似，能照搬左题式子吗？
等 \( 3(6-3x)+2×2x+x=15 \)。
讲清依据 右题胜场变成6−3x，乘3的对象随之改变。
揭示 按一次 →，右题方程出现，与左题比较不同的乘法对象。
避错 沿用上一题的x含义，却未按新倍数关系重写三类场数。
问 右题得到3/4，应如何作答？
等 负场 \( x=3/4 \) 不是整数，因此该记录不可能。
讲清依据 数学解必须同时满足实际场次限制。
揭示 按一次 →，并列呈现一个可行结果与一个不可行结果。
避错 沿用上一题的x含义，却未按新倍数关系重写三类场数。
观察点
学生应能指着图表解释各式中的量，并独立复述关键关系。负场 \( x=3/4 \) 不是整数，因此该记录不可能。
易错
沿用上一题的x含义，却未按新倍数关系重写三类场数。
提示阶梯
- 先说题目中哪一个总量不变。
- 在图表中分别表示两部分，再比较同类量。
- 只补最卡住的一项，剩余部分自己完成。
每次只给一层；学生能继续就停止提示。
分支
基础弱：在量的表示处停下补一项；基础好：先独立完成，再比较理由。
材料
原稿4第22至23页
讲法
20题，每题必答。A全对得100；B答对17题、错3题得79。①C得72，对错各几题？②D能得88吗？③若删去A、B，只保留16对4错72分，能否确定计分规则？
先让学生独立读题和表示数量，先独立读题，写出未知数与等量关系。右侧问句是本题的推理顺序。每一步先问，收到有依据的回答后再点击；画面会补上相应数量或关系，已建立的证据留在原处。
提问与逐步讲解
问 能否沿用上一题的错误扣分？
等 先用A得正确一题5分；错误扣分必须重新推断。
讲清依据 本题是另一场竞赛，计分规则要从本表读取。
揭示 按一次 →，突出A行，确定正确分值。
避错 套用上一题扣1分的规则，或猜出一套规则就称其唯一。
问 B的三道错题一共扣了多少？
等 85降到79，扣6；每题扣 \( 6/3=2 \) 分。
讲清依据 扣分总量再除以错题数，得到单位扣分。
揭示 按一次 →，突出B行，确定新扣分规则。
避错 套用上一题扣1分的规则，或猜出一套规则就称其唯一。
问 C得72，两个题数怎样都回答？
等 \( 5x-2(20-x)=72 \)，解得16对4错。
讲清依据 题目同时问对与错，二者合计20。
揭示 按一次 →，补全C的方程、对题数与错题数。
避错 套用上一题扣1分的规则，或猜出一套规则就称其唯一。
问 D说88分，方程给出了什么判断？
等 \( 7x=128 \)，解 \( 128/7 \) 非整数，所以不可能。
讲清依据 不能改变精确解以适应题数。
揭示 按一次 →，补出D的分数解与否定结论。
避错 套用上一题扣1分的规则，或猜出一套规则就称其唯一。
问 不用方程，列举为何也能判断？
等 全对100，每错一题少5再扣2，即下降7。
讲清依据 88在93与86之间；这些分数按7递减，无法到88。
揭示 按一次 →，显示100、93、86、79、72的可达分数序列。
避错 套用上一题扣1分的规则，或猜出一套规则就称其唯一。
问 若只给16对4错72，规则唯一吗？
等 对5扣2与对6扣6都得到72，不能唯一确定。
讲清依据 必须保留另一条独立信息；一条混合记录不够。
揭示 按一次 →，两套候选规则同时出现，揭示信息不足。
避错 套用上一题扣1分的规则，或猜出一套规则就称其唯一。
观察点
学生应能指着图表解释各式中的量，并独立复述关键关系。对5扣2与对6扣6都得到72，不能唯一确定。
易错
套用上一题扣1分的规则，或猜出一套规则就称其唯一。
提示阶梯
- 先说题目中哪一个总量不变。
- 在图表中分别表示两部分，再比较同类量。
- 只补最卡住的一项，剩余部分自己完成。
每次只给一层；学生能继续就停止提示。
分支
基础弱：在量的表示处停下补一项；基础好：先独立完成，再比较理由。
材料
原稿4第24至26页；信息不足为原创解释题
讲法
对照三张表，先说出每张表里“贡献”指什么，再指认哪个条件使方程改变。
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。
讲法
留空题改变对错总数；检验不能只检查积分。
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。
讲法
共20题，答对得5分、答错扣1分、不答0分。恰有1题不答，总分83，求答对与答错题数。先与“每题必答”的式子比较，再独立列式。
先让学生独立读题和表示数量，先不点解析，独立写出错题数并解释为什么不再是20−x。右侧问句是本题的推理顺序。每一步先问，收到有依据的回答后再点击；画面会补上相应数量或关系，已建立的证据留在原处。
提问与逐步讲解
问 允许一道不答后，哪一个总量改变？
等 实际作答只有 \( 20-1=19 \) 题。
讲清依据 全部题数仍为20，但对与错不再合计20。
揭示 按一次 →，留空行高亮：已知的1题0分保留在场，凸显实际只作答19题。
避错 仍把错误题数写成20−x，漏掉留空条件。
问 设答对x题，对题贡献几分？
等 \( 5x \)分。
讲清依据 正确每题5分的规则未改变。
揭示 按一次 →，答对一行显示题数与积分。
避错 仍把错误题数写成20−x，漏掉留空条件。
问 错题为什么应写19−x？
等 已作答19题，扣去答对x题，剩 \( 19-x \) 题。
讲清依据 留空题必须先从总题数中扣除。
揭示 按一次 →，答错一行补全，并保留负积分符号。
避错 仍把错误题数写成20−x，漏掉留空条件。
问 总分83对应怎样的安排？
等 \( 5x-(19-x)=83 \)，得 \( x=17 \)。
讲清依据 三类积分合起来为83，其中留空贡献0。
揭示 按一次 →，显示17对、2错、1空。
避错 仍把错误题数写成20−x，漏掉留空条件。
问 两个总量都检验了吗？
等 题数 \( 17+2+1=20 \)；积分 \( 85-2=83 \)。
讲清依据 既查题数拆分，又查积分，才能验证新条件。
揭示 按一次 →，底部补出题数和得分的双重检查。
避错 仍把错误题数写成20−x，漏掉留空条件。
观察点
学生应能指着图表解释各式中的量，并独立复述关键关系。题数 \( 17+2+1=20 \)；积分 \( 85-2=83 \)。
易错
仍把错误题数写成20−x，漏掉留空条件。
提示阶梯
- 先说题目中哪一个总量不变。
- 在图表中分别表示两部分，再比较同类量。
- 只补最卡住的一项，剩余部分自己完成。
每次只给一层；学生能继续就停止提示。
分支
基础弱：在量的表示处停下补一项；基础好：先独立完成，再比较理由。
材料
原创结构迁移，依据原稿4第13至18页
讲法
请学生说出本讲最需要练习的关系。先收下学生的解释，再决定从哪一道题开始；原题与变式均可在目录中定位。
观察点
根据独立作答决定下一步，不能以翻完页面代替理解。
分支
基础弱保留核心模型，基础好比较条件变化后的新关系。
材料
依据原稿的目标、小结和本次教学编排。